∴f（x）在R上是增函数．
求函数的单调区间
[例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[自主解答] y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图象如图所示．
函数在（－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞）上是减函数．
∴函数的单调增区间是（－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞）．
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1对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝\f（k,x）单调区间的确定，常借助于函数图象去探求，而且这些函数的单调区间作为常识性的内容，可以直接使用.
2对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性区间.
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2．求函数f（x）＝|x＋1|－|2x－4|的单调递减区间．
解：
f（x）＝|x＋1|－|2x－4|
＝
画出函数f（x）的图象如下图所示，函数f（x）的单调减区间是[2，＋∞）．
由函数的单调性求参数取值范围
[例3] 已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．
[自主解答] 函数f（x）＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在（－∞，a]和[a，＋∞）上分别单调，因此要使函数f（x）在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2（其中当a≤1时，函数f（x）在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f（x）在区间[1,2]上单调递减，从而a∈（－∞，1]∪[2，＋∞）．
“若函数单调增区间为[2，＋∞），则a为何值？
”
解：
∵f（x）开口向上，且函数单调增区间为[2，＋∞），
∴对称轴x＝a＝2，即a＝2.
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1已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：
视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.
（2）常见函数的单调性列表如下：
函数
单调性
一次函数y＝ax＋b（a≠0）
a>0时，在R上单调递增；
a<0时，在R上单调递减
反比例函数y＝（a≠0）
a>0时，单调减区间是（－∞，0）和（0，＋∞）；a<0时，单调增区间是（－∞，0）和（0，＋∞）
二次函数y＝a（x－m）2＋n（a≠0）
a>0时，单调减区间是（－∞，m]，单调增区间是[m，＋∞）；a<0时，单调减区间是[m，＋∞），单调增区间是（－∞，m]
（3）需注意若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
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3．若函数f（x）＝（2a－1）x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为________．
解析：
∵f（x）＝（2a－1）x＋b为一次函数，
∴当2a－1<0即a<时，f（x）是R上的减函数．
答案：
（－∞，）
解题高手
妙解题
同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
求f（x）＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[巧思] 先求出函数的对称轴x＝a，分四种情况a<0,0≤a<1,1≤a<2，a≥2时，讨论函数f（x）在区间[0,2]上的单调性，再结合图形，可分别求出相应的最小值和最大值．
[妙解] ∵f（x）＝（x－a）2－1－a2，
对称轴为直线x＝a，
①当a<0时，由图1可知
f（x）min＝f（0）＝－1，
f（x）max＝f
（2）＝3－4a.
②当0≤a<1时，由图2可知，
f（x）min＝f（a）＝－1－a2，
f（x）max＝f
（2）＝3－4a.
③当1≤a<2时，由图3可知，f（x）min＝f（a）＝－1－a2，
f（x）max＝f（0）＝－1；
④当a≥2时，由图4可知，f（x）min＝f
（2）＝3－4a，
f（x）max＝f（0）＝－1.
1．函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的递减区间是（ ）
A. B．[－1，＋∞）
C.D．（－∞，＋∞）
解析：
y＝x2＋x＋1＝（x＋）2＋.
其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，
∴x≤－时单调递减．
答案：
C
2．函数f（x）＝|x|和g（x）＝x（2－x）的递增区间依次是（ ）
A．（－∞，0]，（－∞，1]B．（－∞，0]，[1，＋∞）
C．[0，＋∞），（－∞，1]D．[0，＋∞），[1，＋∞）
解析：
f（x）＝|x|的图象如图甲，
g（x）＝x（2－x）＝－x2＋2x
＝－（x2－2x＋1）＋1
＝－（x－1）2＋1的图象如图乙，易知选C.
答案：
C
3．已知函数y＝ax和y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则函数f（x）＝bx＋a在R上是（ ）
A．减函数且f（0）<0B．增函数且f（0）<0
C．减函数且f（0）>0D．增函数且f（0）>0
解析：
∵y＝ax和y＝－在（0，＋∞）都是减函数，
∴a<0，b<0.
f（x）＝bx＋a为减函数且f（0）＝a<0.
答案：
A
4．若函数f（x）＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞），则a＝________.
解析：
由f（x）＝可得函数f（x）的单调递增区间为[－，＋∞），故3＝－，解得a＝－6.
答案：
－6
5．若函数f（x）＝则f（x）的递减区间是________．
解析：
∵分段函数当x≥1时，f（x）＝2x＋1为增函数，当x<1时，f（x）＝5－x为减函数．
答案：
（－∞，1）
6．已知f（x）＝，试判断f（x）在[1，＋∞）上的单调性，并证明．
解：
f（x）＝在[1，＋∞）上是增函数．
证明：
任取x1，x2∈[1，＋∞），
且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝－
＝＝
∵1≤x1＜x2，∴x2＋x1＞0，x2－x1＞0，
＋＞0.
∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．
故函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数．
一、选择题
1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（ ）
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
解析：
若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用∪连接．比如0＜5，但f（0）＞f（5）．
答案：
C
2．函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞）时，f（x）为增函数，当x∈（－∞，－2]时，函数f（x）为减函数，则m等于（ ）
A．－4B．－8
C．8D．无法确定
解析：
由题意可知x＝－2是f（x）的对称轴，∴＝－2，m＝－8.
答案：
B
3．下列有关函数单调性的说法，不正确的是（ ）
A．若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数
B．若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数
C．若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数
D．若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数
解析：
∵若f（x）为增函数，g（x）为减函数，
则f（x）＋g（x）的增减性不确定．
例如f（x）＝x＋2为R上的增函数，
当g（x）＝－x时，则f（x）＋g（x）＝＋2为增函数；当g（x）＝－3x，则f（x）＋g（x）＝－2x＋2在R上为减函数．
∴不能确定f（x）＋g（x）的单调性．
答案：
C
4．下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（ ）
A．y＝|x＋1|B．y＝3－x
C．y＝D．y＝－x2＋4
解析：
B、C、D在（0,1）上均为减函数，只有A项在（0,1）上是增函数．
答案：
A
二、填空题
5．已知函数f（x）为区间[－1,1]上的增函数，则满足f（x）解析：
∵f（x）在[－1,1]上为增函数，且f（x）∴，得－1≤x<.
答案：
[－1，）
6．若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的
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