二次函数与幂函数典型例题含答案完整版Word文件下载.docx

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（3）二次函数的解析式的三种形式：

①一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

②顶点式：

f（x）＝a（x－m）2＋h（a≠0）；

③两根式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

2．幂函数

（1）幂函数的定义

形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

第一象限一定有图像且过点（1，1）；

第四象限一定无图像；

当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；

第一象限图像的变化趋势；

当a<

0时，递减，a>

0时，递增，其中a>

1时，递增速度越来越快，0<

a<

1时，递增速度越来越慢。

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x－1

定义域

R

[0，＋∞）

{x|x∈R且x≠0}

值域

{y|y∈R且y≠0}

奇偶性

奇

偶

非奇非偶

单调性

增

x∈[0，＋∞）时，增，x∈（－∞，0]时，减

x∈（0，＋∞）时，减，x∈（－∞，0）时，减

定点

（0,0），（1,1）

（1,1）

一条主线

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．

两种方法

二次函数y＝f（x）对称轴的判断方法：

（1）对于二次函数y＝f（x）对定义域内x1，x2，都有f（x1）＝f（x2），那么函数y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝；

（2）对于二次函数y＝f（x）对定义域内所有x，都有f（a＋x）＝f（a－x）成立，那么函数y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝a（a为常数）．

两种问题

　与二次函数有关的不等式恒成立问题：

（1）ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是

（2）ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是

双基自测

1．下列函数中是幂函数的是（　　）．

A．y＝2x2B．y＝

C．y＝x2＋xD．y＝－

2．（2011·

九江模拟）已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则f

（1）的范围是（　　）．

A．f

（1）≥25B．f

（1）＝25

C．f

（1）≤25D．f

（1）＞25

3．（2011·

福建）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）．

A．（－1,1）B．（－2,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

4．（2011·

陕西）函数的图象是（　　）．

5．二次函数y＝f（x）满足f（3＋x）＝f（3－x）（x∈R）且f（x）＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.

考向一　求二次函数的解析式

【例1】已知函数f（x）＝x2＋mx＋n的图象过点（1,3），且f（－1＋x）＝f（－1－x）对任意实数都成立，函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．求f（x）与g（x）的解析式．

【训练1】已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．

考向二　幂函数的图象和性质

【例2】幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为（　　）．

A．－1＜m＜3B．0

C．1D．2

【训练2】已知点（，2）在幂函数y＝f（x）的图象上，点在幂函数y＝g（x）的图象上，若f（x）＝g（x），则x＝________.

考向三　二次函数的图象与性质

【例3】已知函数f（x）＝x2－2ax＋1，求f（x）在区间[0,2]上的最值．

【训练3】已知f（x）＝1－（x－a）（x－b）（a＜b），m，n是f（x）的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．

1．（人教A版教材习题改编）下列函数中是幂函数的是（　　）．

解析　A，C，D均不符合幂函数的定义．

答案　B

解析　对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，

∴f

（1）＝9－m≥25.

答案　A

解析　依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.

答案　C

解析　由幂函数的性质知：

①图象过（1,1）点，可排除A，D；

②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.

解析　由f（3＋x）＝f（3－x），知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝3对称，应有＝3x1＋x2＝6.

答案　6　　

[审题视点]采用待定系数法求f（x），再由f（x）与g（x）的图象关于原点对称，求g（x）．

解　依题意得

解得：

∴f（x）＝x2＋2x.

设函数y＝f（x）图象上的任意一点A（x0，y0），该点关于原点的对称点为B（x，y），则x0＝－x，y0＝－y.

∵点A（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，

∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，

即g（x）＝－x2＋2x.

二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．

解　法一　利用二次函数的一般式．

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

由题意得解之得

∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.

法二　利用二次函数的顶点式．

设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），

∵f

（2）＝f（－1）．

∴此二次函数的对称轴为x＝＝.

∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.

∴y＝f（x）＝a2＋8，

∵f

（2）＝－1，∴a2＋8＝－1，

解之得a＝－4.

∴f（x）＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．

解析　由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，

又m∈Z，∴m＝0,1,2.

∵m2－2m－3为偶数，

经验证m＝1符合题意．

根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在（0，＋∞）上为增函数，当α＜0时，幂函数在（0，＋∞）上为减函数，然后验证函数的奇偶性．

解析　由题意，设y＝f（x）＝xα，，则2＝（）α，得α＝2，设y＝g（x）＝xβ，则＝（－）β，得β＝－2，由f（x）＝g（x），即x2＝x－2，解得x＝±

1.

答案　±

1

[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．

解　函数f（x）＝x2－2ax＋1＝（x－a）2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，

（1）若a＜0，f（x）在区间[0,2]上单调递增，

当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝1；

当x＝2时，f（x）max＝f

（2）＝5－4a；

（2）若0≤a＜1，则

当x＝a时，f（x）min＝f（a）＝1－a2；

（3）若1≤a＜2，则

当x＝0时，f（x）max＝f（0）＝1；

（4）若a≥2，则f（x）在区间[0,2]上单调递减，

当x＝2时，f（x）min＝f

（2）＝5－4a.

解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a（x－m）2＋n（a≠0）的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x＝m，分三个类型：

①顶点固定，区间固定；

②顶点含参数，区间固定；

③顶点固定，区间变动．

解析　由于f（x）＝1－（x－a）（x－b）（a＜b）的图象是开口向下的抛物线，因为f（a）＝f（b）＝1＞0，f（m）＝f（n）＝0，可得a∈（m，n），b∈（m，n），所以m＜a＜b＜n.

答案　m＜a＜b＜n

考向四　有关二次函数的综合问题

【例4】设函数f（x）＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．

[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．

解　当a＞0时，f（x）＝a＋2－.

∴或

或

∴或或

∴a≥1或＜a＜1或，即a＞；

当a＜0时，解得a∈；

当a＝0时，f（x）＝－2x＋2，f

（1）＝0，f（4）＝－6，

∴不合题意．

综上可得，实数a的取值范围是a＞.

含有参数的二次函数与不