全国数学建模大赛A题中国人口增长预测与控制题目和论文赏析Word文档格式.doc
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中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；
还要指出你们模型中的优点与不足之处。
二、问题分析
为了与机理分析结合求得较精确的结果，可以建立递推模型，利用附录中所给数据确定未知参数，进而确定描述中国人口增长的数学模型，并用此进行中短期、长期预测。
首先，由于人口增长受多个因素影响，我们分别建立描述各因素的数学模型，包括：
死亡率模型、出生人口模型、生育性别比模型和迁移模型。
由于死亡率模型和生育性别比有性别差异，各模型皆有城、镇、乡差异，所以需将男性人口与女性人口，城、镇、乡人口分开考虑。
其次，由于中短期、长期预测时问题的复杂程度不同，侧重点不同，因此中短期、长期预测的模型有所差异。
中短期预测仅利用现有数据的变化趋势进行预测，长期预测需要通过机理分析得到。
最后，要检验模型的准确性，必须参照别的模型实际数据，因此我们用两个经典的模型：
Logistic模型和Leslie模型进行求解并与本文模型进行比较。
三、问题的假设
假设一每一年的人口总数，人口结构及分布和其他有关各量仅在年末发生变化，变化顺序是：
一部分人先死亡，然后一部分人生小孩，最后一部分人迁移
假设二本文中所提到的婴儿出生率指的是婴儿出生且在一岁前存活的概率
假设三生育妇女一年只生一胎
假设四九十岁以上的人口变化对总人口变化影响不大，因此不予以考虑
假设五人口的迁移路径仅考虑从村到镇，从村到城
假设六国际迁入迁出对于人口的影响较小
四、符号说明
第年初年龄为的总人数
第年末年龄为的人的死亡率
第年末平均每个育龄女性的生育数
生育加权因子（即生育模式）
第年末生育性别比
第年末迁移人口比例
老龄化程度
城镇化程度
性别比
五、模型建立与求解
5.1中国人口增长的影响因素分析
人口变化包括人口增长及人口性别结构、年龄结构的变化。
其中，人口性别结构、年龄结构的变化影响人口增长量及增长速度。
为了建立中国人口增长的数学模型，并进行预测，首先须考虑人口变化的影响因素。
其中，老龄化、城镇化、性别比的增高等中国人口变化的特点须给与考虑。
当前各地区的人口总数和人口比例、人口年龄结构决定以后的人口总数和人口比例、人口年龄结构。
人口总数和人口比例、人口年龄结构表现为老龄化程度、城镇化程度和性别比。
其变化情况由出生率、死亡率、迁移率决定。
国家政策影响出生率、死亡率、迁移率。
5.2中国人口增长总模型
将男、女人口，城、镇、村的人口分开考虑，得到六个子对象，如图2所示：
总人口
男性人口
女性人口
城市男性人口
城镇男性人口
农村男性人口
城市女性人口
城镇女性人口
农村女性人口
图2
以下建立适用于各个子对象的通用模型。
男、女性分别用下标，表示；
城、镇、村分别用下标表示。
将第年初的人口分为在第年末出生的人口与第年末未死亡未迁出的非新生人口两类，即：
设有年龄结构向量：
其中，为第年初年龄为的该类地区人数
4.1.1求第年末出生的人口数
设为第年末年龄为的人的死亡率，表示各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布（即生育模式），为第年末平均每个育龄女性的生育数，可以得到：
第年末年龄为的妇女人数为
第年末年龄为的妇女生下的婴儿数量为
另外，设为第年末生育性别比，则有：
第年末年龄为的妇女生下的男婴数量为
第年末年龄为的妇女生下的女婴数量为
表示为矩阵形式可得：
第年末出生的男婴数量为
第年末出生的女婴数量为
5.1.2求第年末未死亡未迁出的非新生人口数
设从农村到城镇迁移率、从农村到城市迁移率分别为
则第年末未死亡未迁出的非新生人口数可表示为：
对农村人口
对城镇人口，未死亡未迁出的非新生人口包括城镇原来的剩下人口加上从农村迁移至城镇的人口：
同理得，对于城市人口：
5.3各影响因素模型
5.3.1死亡率模型
记死亡率
（1）年龄对死亡率的影响
众所周知，在同一时期的人口中，少年儿童的死亡率随年龄增长而下降，中青年人的死亡率变化较平稳，老年人的死亡率随年龄增长快速升高；
总体来说，死亡率-年龄曲线为一“U”字型。
因此，考虑利用模型（文献[11]）通过数据拟合对死亡率随年龄增长的变化进行描述：
其中，为年龄为的人的死亡率，和为参数，通过数据拟合得到。
对于城市、乡镇拟合曲线大致如图3所示（不考虑90岁以上的人口）
死亡率
图3
通过对上面图形分析可知：
1死亡率大致与年龄反相关，这说明中国的城镇医疗发展水平以已经较高，儿童的成活率比较高。
2随着年龄的增加，死亡率明显增大，而且增大的趋势明显。
对于乡村死亡率，变化图形如图4所示：
图4
通过图4分析可知：
1.小于10岁的人口死亡率比较高，整个趋势大体为U字型。
这说明乡村的医疗等水平比较低，严重影响了儿童的成活率，因此对于乡村来说，提高医疗水平是非常重要的。
2.随着年龄的增长，死亡率逐渐增加。
通过上面拟合可以得到市，镇，乡0岁到90岁死亡率的离散化数据。
用于后面人口的预测。
（2）时间对的影响
a.中短期内，随时间的变化速度改变不大，我们采用线性回归的方法，得出如下结果：
对于城市男性：
对于城市女性：
对于城镇男性：
对于城镇女性：
对于农村男性：
对于农村女性：
各方程均通过显著性检验。
回归情况如图5：
时间
图5
可见，短期内农村和城镇的死亡率在增加，主要原因是农村和城镇的老龄化程度不断加深，以及从农村迁出的中青年人口增多。
b.长期内，由于不断降低，最终将会趋于一个理想值，我们利用SIS模型对其进行描述，体现制约与控制因素。
有：
，
其中，，为参数，的终值为
改变和对终值的影响如图6：
图6
其中：
城、镇、村不同初值的影响如图7所示：
图7
4.3.2出生人口模型
出生人口的影响因素如图8所示：
出生人口
男女性别比
生育性别比
平均生育数
生育模式
生育数
图8
生育人数对年龄符合一定的概率分布，每个年龄段的生育率归结为总和生育率与生育概率的乘积。
这样对于生育率的预测，归结为总和生育率的预测上。
以下分别讨论各个子模型。
4.3.2.1生育模式模型
记为各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布，即生育模式（生育加权因子）。
由于生育模式主要受生理因素影响，假设其不随时间变化。
考虑到生育的女性中中青年人口占较大比例的特点，我们设不同年龄女性的生育加权因子满足分布：
，
数据的选取，在模型中用到附录中的数据。
用附录中的数据进行分析,初步发现2003年的数据与其余数据相差较大：
我们选用更权威的数据。
两组数据的对照表所示：
统计年鉴数据
附表三中数据
23.83
1.86
39.79
3.73
60.56
6.18
95.77
8.94
117.78
11.37
123.85
11.51
123.66
10.65
108.12
9.91
86.54
7.53
66.38
5.57
49.39
4.51
36.77
3.29
因此我们采用统计年鉴的数据来代替附表三中的数据。
通过对数据进行拟合得到：
a.对城市：
=19.86，=1.232
拟合情况见图9
年龄
生育加权因子
图9
b.对城镇：
=19.213，=1.011
拟合情况见图10
图10
c.对农村：
=24.023，=0.932
拟合情况见图11
图11
从结果可知，对于三类地区，用此模型得到的从23岁到28岁的生育模式比较准确。
由于这一年龄段时生育高峰期，其他年龄段的生育模式微小变化对总人口的变化影响较小，所以用Gamma分布描述生育模式随年龄的分布是合理的。
另外，受当前农村人口文化、经济条件影响，早生现象存在，这一点从对农村生育模式的拟合情况图也可以看出来。
但是，由于将来农村的发展，早生现象必会慢慢消除。
因此用此模型对农村地区作长期预测将会得到更准确的结果。
4.3.2.2平均生育数模型
记平均生育数
通过分析数据，我们发现从2001年到2005年平均生育数上下波动，但总体来说有所减小。
（1）中短期内，采用如下线性回归方程：
根据各年平均生育数数据，利用软件SAS得到如下结果：
对城市人口：
对城镇人口：
对乡村人口：
三方程均通过显著性检验。
回归情况如图12。
图12
（2）长期内，平均生育数下降必将趋近一个定值。
我们采用SIS模型：
终值为
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