全国初中数学竞赛预赛试题含答案文档格式.doc
《全国初中数学竞赛预赛试题含答案文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学竞赛预赛试题含答案文档格式.doc（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B．
第3题图
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC交AC于点O，AE平分∠CAD交BD于点E，∠ABC=，∠ACB=，给出下列结论：
①∠DAE=；
②；
③∠AEB=；
④∠ACD=．其中一定正确的有【】
（A）4个（B）3个
（C）2个（D）1个
（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=，∴①正确；
（2）∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴，∴②正确；
（3）∠AEB=∠DAE+∠ADB=∠DAE+∠CBD=，∴③正确；
（4）∵∠BAC=，只有当AB∥DC时，∠ACD=才能成立．∴④不正确.
综上，应选B.
第4题图
O
阿A
y
x
l1
l2
C
B
4．如图，直线l1、l2相交于点，l1、l2与x轴分别交于点和，则当时，自变量x的取值范围是【】
（A）（B）
（C）（D）
【答】C．
由图象可知当时，，
当时，，所以当时，.故应选C．
5．关于x的不等式的解集为，则a应满足【】
（A）（B）（C）a≥1（D）a≤1
解：
由，得，由不等式的解集为，知，第6题图
所以，得．故应选B．
6．如图的象棋盘中，“卒”从A点走到B点，最短路
径共有【】
（A）14条（B）15条
（C）20条（D）35条
【答】D．
如右图，从点A出发，每次向上或向右走一
步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如：
到达点P、Q的最短路径条数分别为2和3.以此类推，
到达点B的最短路径条数为35条.选D.
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
第8题图
7．计算：
．
【答】．
原式=
8．如图是三个反比例函数，，
在x轴上方的图象，则、、的大小关系为．
由图象可知为负数，、为正数，不妨取x=1，代入解析式，显然点在点的正下方，所以，又为负数，所以．
9．有6个小球，其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率是．
摸出的2个球都是黑球的概率是，所以摸出的球颜色一样的概率是.
10．如图，点C是线段AB上一个动点，∠A=∠B=30°
，∠ADC=∠BEC=90°
，若AB=8cm，则CD+CE=cm．
【答】4．
在Rt△ADC中，∠A=30°
，得，同理,所以（cm）．
11．关于x的方程的两实数根之积等于，则的值是．
由题意得，解得，当时，原方程无实数根，当时，原方程有两个不相等的实数根，所以.
12．计算：
.
令，则原式=×
==.
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人？
【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人、5人、4人一列分别可以整排a、b、c列，则．（a、b、c是正整数）
∴ 4分
由②，得
因为c为正整数，可令所以（m是正整数）③
将③代入①，得
∴ 7分
因为b为正整数，可令所以（n是正整数）④
将④代入③，得 11分
∴（n是正整数）.
当n=1时，y有最小值52.即参加比赛列队的至少有52人. 14分
14．如图，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E（A、B两点除外），过E、B、C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G．
（1）求证：
四边形EFCH是正方形；
（2）设BE=x，△CGH的面积是y，求y与x的函数解析式，并求y的最大值．
【答案】
（1）∵E、B、C、H、F在同一圆上，且∠EBC=90°
，
∴∠EHC=90°
，∠EFC=90°
． 2分
又∠FBC=∠HBC=45°
，∴CF=CH． 4分
∵∠HBF+∠HCF=180°
，∴∠HCF=90°
． 6分
∴四边形EFCH是正方形． 8分
（2）∵∠GHB+∠GCB=180°
∴∠GHB=90°
，由
（1）知∠CHE=90°
∴∠CHG+∠CHB=∠EHB+∠CHB．
∴∠CHG=∠EHB．
∴CG=BE=x，∴DG=． 12分
∴△CGH中，CG边上是高为
∴ 15分
当x=时，y有最大值． 16分
15.数学活动课上，李老师出示了问题：
已知，如图①，在△ABC中，∠BAC=45°
，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，设BD=a，用含有a的式子表示AD的长.
经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路：
如图②，作∠DAE=45°
，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F．通过证明△ABD≌△ACF，得到CF=a，进而推出CE=，所以AD=DE=CD+CE=
在此基础上，李老师又提出了如下问题：
已知△ABC中，∠BAC=45°
，AB＞AC，AD是BC边上的高，设BD=a，CD=b，求AD的长.
请你画图并解答这个问题．
（1）当∠ACB为直角时，△ABC为直角三角形，b=0，AD=AC=BD=a． 2分
（2）当∠ACB为锐角时，如图③，作∠DAE=45°
，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F．则△CEF和△ADE都是等腰直角三角形.
设，.则.∴. 4分
∵∠FAC+∠CAD=45°
，∠DAB+∠CAD=45°
∴∠FAC=∠DAB.
又∵∠AFC=∠ADB=90°
∴△FAC∽△DAB.……………………6分
∴即
解得∴. 8分
∵,∴. 10分
整理得.
解得（舍去）.
12分
（3）当∠ACB为钝角时，如图④，作∠DAE=45°
，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F．与
（1）中的求法类似，可设，，则.同
（1）中的理由，得△FAC∽△DAB，.
∵,∴. 16分
整理，得，
解得…17分
综上，AD的长为a或或或． 18分
－7－
升级会员 