人教2012版数学第二十七章相似第21讲相似三角形的综合应用Word文档格式.doc
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1.如图
(1)是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD垂直BD,且测的AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是( )
A.6米 B.8米 C.18米 D.24米
【例2】如图(2),一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,被分割成了5个部分.①、②、③这三块的面积比依次为1:
4:
41,那么,④、⑤这两块的面积比是( )
A.3:
4B.9:
14C.4:
5D.9:
16
【解法指导】本题首先要找出④的直角边、⑤的宽与正方形边长的关系。
根据①②相似,先找出正方形边长与①的直角边的关系,最后以①的直角边为单位量,表示出正方形边长、④的直角边、⑤的宽,即可求解。
解法:
设①的直角边为k,可判定①,②相似。
由相似性质得②直角边为2k。
再设正方形的边长为x,可列方程为3k·
x=42·
(k·
k÷
2),解得x=7k。
所以⑤的宽为4k,④的直角边为6k,则④,⑤这两块的面积比是9:
14,选B.
2.如图G是△ABC的重心(三边中线的交点),直线l过A点与BC平行,若直线CG分别与AB、l交与D、E两点,直线BG与AC交与F点,则△AED面积:
四边形ADGF的面积为( )
A.1:
2 B.2:
1 C.2:
3 D.3:
2
3.如图,点A1,A2,A3,A4在射线OA上,点B1,B2,B3,在射线OB上,且A1B1
∥A2B2∥A3B3,A2B1∥A3B2∥A4B3.若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为
4.图为△ABC与△DEC重迭的情形,其中E在BC上,AC交DE与F点,且AB∥DE,若△ABC与△DEC的面积相等,且EF=9,AB=12,则DF=()
【例2】已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且AB2=AE·
AC,BD=8,求△ABD的面积。
【解法指导】由题设得AB2=AE·
AC,∴AB:
AC=AE:
AB,又∠EAB=∠BAC,∴△ABE∽△ACB,∴∠ABE=∠ACB,从而AB=AD,连接AO交BD于F,则BF=DF=1,连接OB,由勾股定理得AF=OA―OF=2,故S=BD·
AF=8,
5.如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3,则AD×
DC等于()
A.6B.7C.12D.16
6.如图,在△ABC中,D是边AC上一点,下面4种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是( )
A.AD·
BC=AB·
BDB.AB2=AD·
ACC.∠ABD=∠ACBD.AB·
BC=AC·
BD
【例3】如图,H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BH=BQ,过B作HC的垂线,垂足为P,求证:
DP⊥PQ
【解法指导】根据条件BP⊥HC,只要证明∠DPC=∠BPQ即可,但本题从边角代换证角等无处下手,可考虑用相似证明。
∵BP⊥HC∴∠BPH=∠CPB=90°
∴∠PCB+∠PBC=∠HBP+∠PBC=90°
∴∠HBP=∠BCP,∴△HBP∽△BCP,∴BP:
CP=HB:
HC,又∵BH=BQ,BC=CD∴BP:
CP=BQ:
CD,∵AB∥CD,∴∠DCP=∠BHP又∠BHP=∠QBP,∴∠DCP=∠QBP,∴△DCP∽△QBP,∴∠DPC=∠BPQ,又∠BPQ+∠CPQ=90°
∴∠DPC+∠CPQ=90°
即DP⊥PQ
7.如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°
,则CD的长为()
A.B.C.D.
8.已知平行四边形ABCD中,过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G,若BE=5,EF=2,则FG的长是
【例4】在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=6,∠ABC=60°
,点E、F分别在线段AD,DC上(点E与点A、D不重合),且∠BEF=120°
,设AE=x,DF=y.(1)求y与x的函数表达式;
(2)当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
【解法指导】本题是“直线上架直角”相似模型的变式探究。
(1)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=6,∠ABC=60°
,∴∠A=∠D=120°
,∴∠AEB+∠ABE=180°
-120°
=60°
,∵∠BEF=120°
∴∠AEB+∠DEF=180°
=60°
∴∠ABE=∠DEF。
∴△ABE∽△DEF。
∴=∵AE=x,DF=y,∴=,∴y与x的函数表达式是y=·
x·
(6-x)=-x2+x;
(2)∴y=-x2+x=-(x-3)2+,∴当x=3时,P有最大值,最大值为.
9.阅读理解:
如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=900,点P在边BC上,当∠APD=90°
时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP·
PC=AB·
CD,解答下列问题:
(1)模型探究:
如图2,在四边形ABCD中,点P在BC上,当∠B=∠C=∠APD时,求证BP·
CD
(2)拓展应用:
如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=600,AO⊥BC与于点O,以O为原点,以BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合)
①当∠APD=600时,求点P的坐标;
②过点P作PE⊥PD,交y轴于点E,设OP=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
演练巩固·
反馈提高
1.如图,已知零件的外径为25mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB,若OC:
OA=1:
2,量得CD=10mm,则零件的厚度x=mm.
2.如图,在正三角形ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于( )
A.1:
3B.2:
3C.:
2D.:
3
3.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=900,AD=DC=4,AB=1,F为AD的中点,则点F到BC的距离是( )
A.2B.4C.8D.1
4.如图,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上的一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=()
A.+3B.4-C.D.--
5.如图,直线AB经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB,⊙O交直线AB于点E、D,连接EC、CD
(1)求证:
直线AB是⊙O的切线
(2)试猜想BC、BD、BE三者之间的等量关系,并加以证明;
(3)若⊙O半径为3,求OA的长
6.如图在平面直角坐标系中,直线y=-x-12分别交x轴,y轴于A,B两点,点C在x轴上,且△ABC∽△AOB
(1)求点C的坐标
(2)若点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿AB向B运动,同时点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿CA向A运动,连结PQ,设△APQ的面积为S,运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围
(3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,请求出t的值;
若不存在,请说明理由。
培优升级·
奥赛检测
1.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠C=90°
若AD=AC,CE=BC,则∠1与∠2的大小关系是( )
A.∠1>∠2B.∠1<∠2C.∠1=∠2D.无法确定
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,D是BC中点,AE交CB延长线于点E,则结论正确的是( )
A.△AED∽△ACDB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC
3.如图△ABC中,∠ABC=60°
,点P是△ABC内一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=
4.如图,△ABC和△A1B1C1均为正三角形,BC和B1C1的中点均为D,求证:
AA1⊥CC1
5.如图,设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点,连结AP,它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点,求证:
BP·
PC=BM·
CN
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD是角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F,求证:
(1)四边形CEDF是正方形;
(2)CD2=2AE·
BF
7.如图,AB是⊙O的直径,AB=d,过A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长。
8.如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,M是OC的中点,AM的延长线交⊙O于点E,DE与BC交于点N,求证:
BN=CN