1、1.如图(1)是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知ABBD,CD垂直BD,且测的AB1.2米,BP1.8米,PD12米,那么该古城墙的高度是()A米B米C米D米【例】如图(),一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,被分割成了个部分.、这三块的面积比依次为:,那么,、这两块的面积比是()A3:4 B9:14 C4:5 D9:16【解法指导】本题首先要找出的直角边、的宽与正方形边长的关系。根据相似,先找出正方形边长与的直角边的关系,最后以的直角边为单位量,表示出正方形边长、的直角边、的宽,即可求解。解法
2、:设的直角边为k,可判定,相似。由相似性质得直角边为2k。再设正方形的边长为x,可列方程为3kx=42(kk2),解得x=7k。所以的宽为4k,的直角边为6k,则,这两块的面积比是9:14,选B.2如图G是ABC的重心(三边中线的交点),直线l过点与平行,若直线G分别与AB、l交与D、E两点,直线BG与AC交与F点,则AED面积:四边形ADGF的面积为()A:B:C:D:3.如图,点A1,A,A,A在射线OA上,点B,B,B,在射线OB上,且A1B1A2B2A3B3,A2B1A3B2A4B3.若A2B1B2,A3B2B3的面积分别为,则图中三个阴影三角形面积之和为4.图为ABC与DEC重迭的情
3、形,其中在BC上,AC交DE与F点,且ABDE,若ABC与DEC的面积相等,且EF,AB,则DF( )【例】已知四边形ABCD外接O的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且AB2=AEAC,BD=8,求ABD的面积。【解法指导】由题设得AB2=AEAC,AB:AC=AE:AB,又EAB=BAC,ABEACB,ABE=ACB,从而AB=AD,连接AO交BD于F,则BF=DF=1,连接OB,由勾股定理得AF=OAOF=2,故S=BDAF=8,5.如图,若PA=PB,APB=2ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3,则ADDC等于( )A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 6.如图
4、,在ABC中,D是边AC上一点,下面种情况中,ABDACB不一定成立的情况是()A. ADBC=ABBD B.AB2=ADAC C.ABD=ACB D.ABBC=ACBD【例3】如图,H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BH=BQ,过B作HC的垂线,垂足为P,求证:DPPQ【解法指导】根据条件BPHC,只要证明DPC=BPQ即可,但本题从边角代换证角等无处下手,可考虑用相似证明。BPHCBPH=CPB=90,PCB+PBC=HBP+PBC=90,HBP=BCP,HBPBCP,BP:CP=HB:HC,又BH=BQ,BC=CDBP:CP=BQ:CD,ABCD,DCP=BHP又BHP=
5、QBP,DCP=QBP,DCPQBP,DPC=BPQ,又BPQ+CPQ=90DPC+CPQ=90,即DPPQ7.如图,等边ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若APD=60,则CD的长为( )A. B. C. D. 8.已知平行四边形ABCD中,过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G,若BE=5,EF=2,则FG的长是【例】在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC=AD=6,ABC=60,点E、F分别在线段AD,DC上(点E与点A、D不重合),且BEF=120,设AE=x,DF=y.()求y与x的函数表达式;()当x为何值时,y有最大值,最大值是多
6、少?【解法指导】本题是“直线上架直角”相似模型的变式探究。()在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC=AD=6,ABC=60,AD120,AEBABE180120=60,BEF=120,AEBDEF18060ABEDEF。ABEDEF。 = AE=x,DF=y,=,y与x的函数表达式是y=x(6-x)=x2+x;(2)y=x2+x=(x-3)2+,当x=3时,P有最大值,最大值为9.阅读理解:如图,在直角梯形ABCD中, ABCD,900, 点P在边BC上,当APD=90时,易证ABPPCD,从而得到BPPC=ABCD,解答下列问题:()模型探究:如图,在四边形ABCD中,点P在上,当B=C=
7、APD时,求证BPCD()拓展应用:如图,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,B=C=600,AOBC与于点O,以O为原点,以BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合)当APD=600时,求点P的坐标;过点P作PEPD,交y轴于点E,设OP=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.演练巩固反馈提高1.如图,已知零件的外径为25mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OCOD)量零件的内孔直径AB,若OC:OA=1:2,量得CD=10mm,则零件的厚度x= mm2.如图,在正三角形ABC中,D、E、F分别是BC,
8、AC,AB上的点,DEAC,EFAB,FDBC,则DEF的面积与ABC的面积之比等于()A. 1:3 B. 2:3 C. :2 D.:33.如图,在梯形ABCD中,ABDC,D=900,AD=DC=4,AB=1,F为AD的中点,则点F到BC的距离是( )A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 4.如图,RtABC中,ABAC,AB=3,AC=4,P是BC边上的一点,作PEAB于E,PDAC于D,设BP=x,则PD+PE=( )A. +3 B.4 C. D. -5.如图,直线AB经过O上的点C,且OAOB,CACB,O交直线AB于点E、D,连接EC、CD()求证:直线AB是O的切线()试猜想BC
9、、BD、BE三者之间的等量关系,并加以证明;()若O半径为,求OA的长6.如图在平面直角坐标系中,直线y=x-12分别交x轴,y轴于,两点,点在x轴上,且ABCAOB()求点C的坐标()若点P从点A出发,以每秒个单位的速度沿AB向B运动,同时点Q从点C出发,以每秒个单位的速度沿CA向A运动,连结PQ,设APQ的面积为S,运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围()在()的条件下,是否存在t的值,使以A,P,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由。培优升级奥赛检测1如图,ABC为等腰直角三角形,C=90,若AD=AC,CE=BC,则1与2的大
10、小关系是()A.12 B.12 C.1=2 D.无法确定2如图,在ABC中,BAC=90,D是BC中点,AE交CB延长线于点E,则结论正确的是()A.AEDACD B.AEBACD C.BAEACE D.AECDAC3如图ABC中,ABC=60,点P是ABC内一点,使得APB=BPC=CPA,且PA=8,PC=6,则PB=4如图,ABC和A1B1C1均为正三角形,BC和B1C1的中点均为D,求证:AA1CC15如图,设P是等边ABC的一边BC上的任意一点,连结AP,它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点,求证:BPPC=BMCN6.如图,在RtABC中,ACB=90,CD是角平分线,DEBC交AC于点E,DFAC交BC于点F,求证:(1)四边形CEDF是正方形;(2)CD2=2AEBF7.如图,AB是O的直径,AB=d,过A作O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC交O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长。8如图,在O中,弦CD垂直于直径AB,M是OC的中点,AM的延长线交O于点E,DE与BC交于点N,求证:BN=CN
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