二次函数知识点及经典例题详解最终Word格式.docx
《二次函数知识点及经典例题详解最终Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数知识点及经典例题详解最终Word格式.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
0
向上
（0，0）
y轴
x>
0时，y随x的增大而增大；
x<
0时，y随
x的增大而减小；
x=0时，y有最小值0．
a<
向下
0时，y随x的增大而减小；
x的增大而增大；
x=0时，y有最大值0．
2.y=ax2+c的性质：
上加下减。
（0，c）
x=0时，y有最小值c．
x=0时，y有最大值c．
3.y=a（x-h）2的性质：
左加右减。
（h，0）
X=h
h时，y随x的增大而增大；
h时，y随
x=h时，y有最小值0．
h时，y随x的增大而减小；
x=h时，y有最大值0．
4.y=a（x-h）2+k的性质：
（h，k）
x<
x=h时，y有最小值k．
x=h时，y有最大值k．
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定其顶点坐标（h，k）；
⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；
k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
四、二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2+bx+c的比较
从解析式上看，y=a（x-h）2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得
到前者，即y=ax+b2a2+4ac-b24a，其中h=-b2a，k=4ac-b24a
五、二次函数y=ax2+bx+c的性质
当a>
0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.
当x<
-b2a时，y随x的增大而减小；
当x>
-b2a时，y随x的增大而增大；
当x=-b2a时，y有最小值4ac-b24a.
2.当a<
0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.当
x<
-b2a时，y随x的大而增大y;
当随x>
-b2a时,y随x的增大而减小;
当x=-b2a时,y有最大值4ac-b24a.
六、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a¹
0）；
2.顶点式：
y=a（x-h）2+k（a，h，k为常数，a¹
3.两根式（交点式）：
y=a（x-x1）（x-x2）（a¹
0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac³
0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
⑴当a>
0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵当a<
0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为0对称轴为y轴）
3.常数项c
⑴当c>
0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c<
0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
八、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：
①当D=b2-4ac>
0时，图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1¹
x2），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a¹
0）的两根．
②当D=0时，图象与x轴只有一个交点；
③当D<
0时，图象与x轴没有交点.
1'
当a>
0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>
0；
2'
当a<
0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<
0．
2.抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
中考题型例析
1.二次函数解析式的确定
例1 求满足下列条件的二次函数的解析式
（1）图象经过A（-1,3）、B（1,3）、C（2,6）;
（2）图象经过A（-1,0）、B（3,0）,函数有最小值-8;
（3）图象顶点坐标是（-1,9）,与x轴两交点间的距离是6.
分析:
此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.
（1）解:
设解析式为y=ax2+bx+c,把A（-1,3）、B（1,3）、C（2,6）各点代入上式得
3=a-b+c3=a+b+c6=4a+2b+c解得a=1b=0c=2
∴解析式为y=x2+2.
（2）解法1:
由A（-1,0）、B（3,0）得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为（1,-8）.
设解析式为y=a（x-h）2+k,即y=a（x-1）2-8.把x=-1,y=0代入上式得0=a（-2）2-8,
∴a=2.即解析式为y=2（x-1）2-8,即y=2x2-4x-6.
解法2:
设解析式为y=a（x+1）（x-3）,确定顶点为（1,-8）同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a（1+1）（1-3）.解得a=2,
∴解析式为y=2x2-4x-6.
解法3:
∵图象过A（-1,0）,B（3,0）两点,可设解析式为:
y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a.
∵函数有最小值-8.
∴4a-3a-（2a）24a=-8.
又∵a≠0,∴a=2.
∴解析式为y=2（x+1）（x-3）=2x2-4x-6.
（3）解:
由顶点坐标（-1,9）可知抛物线对称轴方程是x=-1,又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.
由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A（-4,0）,B（2,0）,设出两根式y=a（x-x1）·
（x-x2）,将A（-4,0）,B（2,0）代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.
点评:
一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点（或任意3对x,y的值）可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;
如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a（x-h）2+k来求解;
若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a（x-x1）（x-x2）.
2.二次函数的图象
例2 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则点M（a,bc）在（ ）.
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
由图可知:
抛物线开口向上Þ
a>
0.
抛物线与y轴负半轴相交Þ
c<
0bý
Þ
bc>
对称轴x=-2a在y轴右侧Þ
b<
0ï
∴点M（a,bc）在第一象限.答案:
A.
本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.
例3已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
一次函数y=ax+c,当a>
0时,图象过一、三象限;
当a<
0时,图象过二、四象限;
c>
0时,直线交y轴于正半轴;
当c<
0时,直线交y轴于负半轴;
对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来讲:
ì
开口上下决定a的正负
ï
左同右异（即对称轴在y轴左侧,b的符号
í
与a的符号相同;
）来判别b的符号
抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定
î
c的正负
解:
可用排除法,设当a>
0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;
0时,用同样方法可排除A;
c决定直线与y轴交点;
也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.
答案:
D.
3.二次函数的性质
例4 对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:
① ,② ;
再说出它们的两个不同点:
①,② .
本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②
升级会员 