抛物线及其标准方程教案汇编Word文件下载.docx

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x2=－8y．

抛物线的简单几何性质

我们根据抛物线的标准方程

y2＝2px（p＞0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

来研究它的几何性质．

1．范围

因为p＞0，由方程①可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；

当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

2．对称性

以－y代y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．

4．离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1

5，焦点弦：

若抛物线的焦点弦为AB，，则①；

②

6.若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

例1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过

解：

因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M（2，

y2=2px（p＞0）．

因为点M在抛物线上，所以

即

p=2．

因此所求方程是

y2=4x．

的范围内几个点的坐标，得

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（图8－23）．

在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．

这就是标准方程中2p的一种几何意义（图8－24）．利用抛物线的几何性

抛物线基本特征的草图．

例1、

（1）抛物线C:

y2=4x上一点P到点A（3,4）与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________

（2）抛物线C:

y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。

分析：

（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

（1）（2，）

连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为即y=2（x-1）,代入y2=4x得P（2,2），（注：

另一交点为（），它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（）

过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q（）

点评：

这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

练习、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p（-2，0），则弦AB中点的轨迹方程是

直线与圆锥曲线的位置关系

一， 

相交：

直线与椭圆相交；

直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；

直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：

相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；

如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：

一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；

④P为原点时不存在这样的直线；

（1）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：

两条切线和一条平行于对称轴的直线。

常用知识点：

1、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：

利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。

2、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：

常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。

设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中，①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；

②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；

对于双曲线的焦点三角形有：

①；

②。

3、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：

（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；

（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；

（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；

（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

4、弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：

焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

5、圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；

在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。

因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

例2、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

（1）可直接利用抛物线设点，如设A（x1,x12），B（x2，X22），又设AB中点为M（x0y0）用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。

解法一：

设A（x1，x12），B（x2，x22），AB中点M（x0，y0）

①

③

则

由①得（x1-x2）2[1+（x1+x2）2]=9

即[（x1+x2）2-4x1x2]·

[1+（x1+x2）2]=9④

由②、③得2x1x2=（2x0）2-2y0=4x02-2y0

代入④得[（2x0）2-（8x02-4y0）]·

[1+（2x0）2]=9

∴，

≥

当4x02+1=3即时，此时

法二：

如图，

∴，即，

∴，当AB经过焦点F时取得最小值。

∴M到x轴的最短距离为

【同步练习】

1、已知：

F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若，△ABF2的周长为（）

A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m

2、若点P到点F（4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是

（）

A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x

3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为（-1，0），（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）

A、B、

C、D、

4、过原点的椭圆的一个焦点为F（1，0），其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是

A、B、

5、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是

6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是

7、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

8、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=

9、设点P是椭圆上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。

10、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为（-2，1），，求直线l的方程和椭圆方程。

11、已知直线l和双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。

求证：

。

【参考答案】

1、C

，

∴选C

2、C

点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C

3、D

∵，且

∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。

4、A

设中心为（x，y），则另一焦点为（2x-1，2y），则原点到两焦点距离和为4得，∴

①又c<

a,∴

∴（x-1）2+y2<

4②，由①，②得x≠-1，选A

5、

左准线为x=-，M到左准线距离为则M到左焦点的距离为

6、

设弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2）AB中点为（x，y），则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2（x12-x22）

∴∴2=2·

2x，

将代入y=2x2得，轨迹方程是（y>

）

7、y2=x+2（x>

2）

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x，y），则

∵，∴，即y2=x+2

又弦中点在已知抛物线内P，即y2<

2x，即x+2<

2x，∴x>

2

8、4

，令代入方程得8-y2=4

∴y2=4，y=±

2，弦长为4

9、

y=kx+1代入x2-y2=1得x2-（kx+1）2-1=0

∴（1-k2）x2-2kx-2=0

①得4k2+8（1-k2）=0，k=

②1-k2=0得k=±

1

10、解：

a2=25，b2=9，c2=16

设F1、F2为左、右焦点，则F1（-4，0）F2（4，0）

设

①2-②得2r1r2（1+