1998考研数学一真题及答案解析Word文件下载.docx
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C|
⑷设矩阵a2
b2
C2
是满秩的，那么直线
a3
b3
C3
a1y
bi
zG
a2
a3b2
C2C3
相父于一
'
占
八、、
y1y
2x
J
且当x
0时，是x的高
（）
（C）
e7
（D）
xa3
y
zC3
与直线
a?
cic2
重合
（C）平行但不重合
异面
⑸设A、B是两个随机事件，且0P（A）
（A）P（A|B）P（A|B）（B）
（C）P（AB）P（A）P（B）（D）
三、（此题总分值5分）
求直线L:
-1--—1在平面:
111
Lo绕y轴旋转一周所成曲面的方程•
四、（此题总分值6分）
确定常数，使在右半平面X0上的向量
为某二元函数u（x,y）的梯度，并求u（x,y）.
1,P（B）0,P（B|A）P（B|A）,那么必有（）
P（A|B）P（A|B）
P（AB）P（A）P（B）
y2z10上的投影直线Lo的方程，并求
A（x,y）2xy（x4y2）ix2（x4y2）j
五、（此题总分值6分）
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉
阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k
0）.试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数
过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为，仪器所受的
关系式y=yv
六、（此题总分值7分）
计算
axdydz（za）dxdy
（x2
于零的常数.
z2）12
，其中
为下半球面z
.a2x2y2的上侧，a为大
七、（此题总分值6分）
sin
求lim—
nn1
.2
n
1n_
__1
n一
八、（此题总分值5分）
1
设正项数列an单调减少，且
（1）nan发散，试问级数（一一）n是否收敛？
并说
n1n1an1
明理由•九、（此题总分值6分）
设yf（x）是区间［0,1］上的任一非负连续函数•
（1）试证存在Xo（0,1）,使得在区间0,x0上以f（Xo）为高的矩形面积,等于在区间x0,1
上以yf（X）为曲边的梯形面积•
⑵又设f（x）在区间（0,1）内可导，且f（x）2f（x）,证明
（1）中的x0是唯一的.
X
十、（此题总分值6分）
222
二次曲面方程xayz2bxy2xz2yz4,可以经过正交变换
yp
z
化为椭圆柱面方程2424,求a,b的值和正交矩阵P.
十一、（此题总分值4分）
设A是n阶矩阵，假设存在正整数k,使线性方程组Akx0有解向量，且Ak10,
证明：
向量组，A丄，Ak1是线性无关的•
十二、（此题总分值5分）线性方程组
冃1x1
a^x?
a1,2nX2n
0,
（I）
1X[
2X2
a2,2nX2n
an1x1
an2X2
an,2nX2n
的一个根底解系为
（b11,s
,b1,2n）,（b21,b22,
b2,2n）T,,（01,62,,0』，试写出线性
方程组
Di%
bl2y2
b1,2ny2n
（II）
b2iyi
b^2y2
b,2ny2n
bniyi
bky?
bn,2ny2n
的通解，并说明理由
十三、〔此题总分值6i
分〕
设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0、方差为丄的正态分布，求随机变量
XY的方差.
十四、〔此题总分值4分〕
从正态总体N〔3.4,62〕中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间〔1.4,5.4〕内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?
t2
附表：
标准正态分布表
（z）
十五、〔此题总分值4分〕
设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩
为分,标准差为15分，问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
并给出检验过程.
t分布表
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
、填空题
〔1〕【答案】
〔此题共5小题，每题3分,总分值15分.〕
【解析】
方法1:
用四那么运算将分子化简，再用等价无穷小替换，
原式
2,^x2
lim
x0
...2
.1x.1x4lim—
x02
x.1x2
4x2
方法2：
采用洛必达法那么.
122
xlim厂
2x02x
71__xy/1__x2
原式洛lim
x2
2、,r~x
2x
4x.1
v1xv1x
4x
21x洛lim
2：
厂x
xm0
1_
2.厂乂
2.1x
方法3:
将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至
从而
.1x1x
1!
x原式lim2—x0
8
01
o1x
o2x
1222
xo1xo2x
lim4
⑵【答案】yf〔xy〕
（xy）y（xy）
【分析】因为
z1f（xy）y（xy）,f,具有二阶连续导数，利用混合偏导数在连续
的条件下与求导次序无关
先求一Z或一Z均可，但不同的选择可能影响计算的繁简
方法2:
xx
xy
yf（
先求
yxf（xy）
f（xy）y
（xy）
—f（xy）
丄f
f（xy）x-f（xy）
f（xy）
（xy）
f（xy）
（x
y）
y）y
2z
xyyx
yf（xy）
对两项分别采取不同的顺序更简单些:
f（xy）yx
—f（xy）x
评注：
此题中，f
意到对x求导时,
⑶【答案】12a
f（xy）丄f（xy）
（xy）x
yf（xy）（x
（xy）.
1f（xy）xx
y）,
y），
y（x
y）.
y（xy）
yf
中的中间变量均为一元
因此此题实质上是一元复合函数的求导
y视为常数；
对y求导时，x视为常数就可以了.
【解析】L关于x轴（y轴）对称，2xy关于y（关于x）为奇函数l2xyds
只要注
0.
又在L上,
y-i
3x-4y-12
l（3x-
4y2）ds
L1-dS血
因此,原式L2xydsl〔3x24y2〕ds12a.
【相关知识点】对称性：
平面第一型曲线积分|fx,yds,设fx,y在I上连续，如果I关
于y轴对称，h为I上x0的局部，那么有结论：
2fx,yds,fx,y关于x为偶函数，fx,yds11
10，fx,y关于x为奇函数•
类似地，如果I关于x轴对称，|2为I上y0的局部，那么有结论:
2fx,yds,fx,y关于y为偶函数,
fx,yds
I2
0，fx,y关于y为奇函数•
⑷【答案】
A2i
【解析】方法1：
设A的对应于特征值的特征向量为，由特征向量的定义有
A,〔0〕.
由A0,知0〔如果0是A的特征值A0〕,将上式两端左乘A,得
AAAAA,
从而有A*—,〔即A的特征值为—〕.
将此式两端左乘A,得
△a
*2
又E,所以AE
故〔A〕E的特征值为
由A0,A的特征值
0〔如果0是A的特征值A0〕,那么A1有特征值
1a
A的特征值为；
（A*）2E的特征值为
【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：
设A是n阶矩阵，假设存在数及非零的n
维列向量X使得AXX成立,那么称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量•
因为
由为A的特征值可知，存在非零向量使A
两端左乘A1,得A
0,故0,于是有A
.按特征值定义知是A1的特征值•
假设AXX,那么（AkE）X
AXkX
（k）X.即假设是A的特征值，那么
AkE的特征值是k.
2.矩阵A可逆的充要条件是A
0,且A1
⑸【答案】-
【解析】首先求（X,Y）的联合概率密度
f（x,y）•
D（x,y）|1xe,0
区域D的面积为
SDe1dx
1x
Inx
:
2.
-
f（x,y）2,
（x,y）D
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