1998考研数学一真题及答案解析Word文件下载.docx

1、C|设矩阵a2b2C2是满秩的，那么直线a3b3C3a1 ybiz Ga2a3 b2C2 C3相父于一占八、y 1y2 xJ且当 x0时，是x的高（）（C）e7（D）x a3yz C3与直线a?ci c2重合（C）平行但不重合异面 设A、B是两个随机事件，且0 P（A）（A） P（A|B） P（A| B） （B）（C） P（AB） P（A）P（B） （D）三、 （此题总分值5分）求直线L :- 1 - -1在平面 :1 1 1Lo绕y轴旋转一周所成曲面的方程 四、 （此题总分值6分）确定常数 ，使在右半平面X 0上的向量为某二元函数u（x, y）的梯度，并求u（x, y）.1,P（B） 0,P

2、（B| A） P（B| A）,那么必有（）P（A| B） P（A| B）P（AB） P（A）P（B）y 2z 1 0上的投影直线Lo的方程，并求A（x,y） 2xy（x4 y2） i x2（x4 y2） j五、（此题总分值6分）从船上向海中沉放某种探测仪器 ，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y（从海平面算起） 与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉 ，在下沉阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k0）.试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数过程中还受到阻力和浮力的作用 .设仪器的质量为 m，体积为B，海水比重为 ，仪器所受的关系式y = y v六、（此题总

3、分值7分）计算axdydz （z a） dxdy（x2于零的常数.z2）12，其中为下半球面z.a2 x2 y2的上侧，a为大七、（此题总分值6分）sin求 lim n n 1.2n1 n _1n 一八、（此题总分值5分）1设正项数列 an单调减少，且 （1）n an发散，试问级数 （一一）n是否收敛？并说n 1 n 1 an 1明理由 九、（此题总分值6分）设y f （x）是区间0,1上的任一非负连续函数（1）试证存在Xo （0,1）,使得在区间0,x0上以f （Xo）为高的矩形面积,等于在区间x0,1上以y f （X）为曲边的梯形面积 又设f （x）在区间（0,1）内可导，且f （x） 2

4、f（x）,证明（1）中的x0是唯一的.X十、（此题总分值6分）, 2 2 2二次曲面方程 x ay z 2bxy 2xz 2yz 4,可以经过正交变换y pz化为椭圆柱面方程 2 4 2 4,求a,b的值和正交矩阵P .十一、（此题总分值4分）设A是n阶矩阵，假设存在正整数k ,使线性方程组 Akx 0有解向量 ，且Ak 1 0,证明：向量组 ，A丄，Ak1是线性无关的十二、（此题总分值5分） 线性方程组冃1 x1ax?a1,2nX2n0,（I）1 X2 X2a2,2nX2nan1x1an2X2an ,2n X2n的一个根底解系为（b11, s,b1,2n） ,（ b21, b22 ,b2,2

5、n）T, ,（01,62, ,0，试写出线性方程组Di%bl2y2b1,2n y2n（II）b2i yib2 y2b,2ny2nbniyibky?bn,2n y2n的通解，并说明理由十三、此题总分值6i分设两个随机变量 X,Y相互独立，且都服从均值为0、方差为丄的正态分布，求随机变量X Y的方差.十四、此题总分值4分从正态总体 N 3.4,62中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间 1.4,5.4 内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?t2附表：标准正态分布表（z）十五、此题总分值4分设某次考试的学生成绩服从正态分布 ，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为分,标

6、准差为15分，问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成 绩为70分？并给出检验过程.t分布表1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题1【答案】此题共5小题，每题3分,总分值15分.【解析】方法1:用四那么运算将分子化简，再用等价无穷小替换，原式2 ,x 2limx 0. . . 2.1 x . 1 x 4 lim x 0 2x .1x24x2方法2：采用洛必达法那么.12 2x lim 厂2 x 0 2x71 _x y/1 _x 2原式洛limx22、,rx2x4x .1v1 x v1 x4x2 1 x 洛lim2：厂xxm0 1_2 .厂乂2.1 x方法3:将

7、分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至从而.1 x 1 x1 !x 原式 lim 2 x 0801o1 xo2 x1 2 2 2x o1 x o2 xlim 4【答案】yf xy（x y） y （x y）【分析】因为z 1 f （xy） y （x y）, f,具有二阶连续导数，利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求一Z或一Z均可，但不同的选择可能影响计算的繁简方法2:x xx yyf（先求y x f （xy）f（xy） y（x y）f （xy）丄ff （xy）x - f （xy）f （xy）（xy）f（xy）（xy）y） y2zx y y xyf （xy）对两项分别采取不同的顺序更简单些:f

8、 （xy） y xf （xy）x评注：此题中，f意到对x求导时,【答案】12af（xy）丄 f（xy）（xy）xyf （xy） （x（x y）.1 f （xy）x xy）,y），y （xy）.y （x y）yf中的中间变量均为一元,因此此题实质上是一元复合函数的求导y视为常数；对y求导时，x视为常数就可以了 .【解析】L关于x轴（y轴）对称，2xy关于y（关于x）为奇函数 l2xyds,只要注0.又在L上,y- i3x- 4y- 12l（3x-4y2 ）dsL1-dS 血因此, 原式 L2xyds l3x2 4y2ds 12a.【相关知识点】 对称性：平面第一型曲线积分 | f x, y ds

9、,设f x,y在I上连续，如果I关于y轴对称，h为I上x 0的局部，那么有结论：2 f x, y ds, f x, y关于x为偶函数， f x, y ds 111 0， f x, y关于x为奇函数类似地，如果I关于x轴对称，|2为I上y 0的局部，那么有结论:2 f x, y ds, f x, y关于y为偶函数,f x, y dsI20， f x, y关于y为奇函数【答案】A2 i【解析】方法1：设A的对应于特征值 的特征向量为 ，由特征向量的定义有A , 0.由A 0,知 0如果0是A的特征值 A 0,将上式两端左乘 A ,得A A A A A ,从而有 A* ,即A的特征值为.将此式两端左

10、乘A,得a* 2又E ,所以 A E,故A E的特征值为由A 0, A的特征值0如果0是A的特征值 A 0,那么A1有特征值1 a,A的特征值为 ；（A*）2 E的特征值为【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设 A是n阶矩阵，假设存在数 及非零的n维列向量X使得AX X成立,那么称 是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特 征向量因为由 为A的特征值可知，存在非零向量 使A,两端左乘A 1,得 A0,故 0,于是有A.按特征值定义知 是A 1的特征值假设 AX X ,那么（A kE）XAX kX（k）X .即假设是A的特征值，那么A kE的特征值是 k.2.矩阵A可逆的充要条件是 A0,且 A 1【答案】-【解析】首先求（X,Y）的联合概率密度f （x, y） D （x, y）|1 x e ,0区域D的面积为SD e 1dx1 xIn x:2.-f（x, y） 2,（x,y） D