6-1-2.还原问题.题库教师版.doc

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还原问题

例题精讲

板块一、单个变量的还原问题

【例1】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：

原数是多少？

【解析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。

这个数没减去2时应该是多少？

没除以2时应该是多少？

没乘以3时应该是多少？

没加上3时应该是多少？

这样依次逆推，就可以推出某数。

如果没减去2，此数是：

如果没除以2，此数是：

如果没乘以3，此数是：

如果没加上3，此数是：

综合算式答：

原数是5.

【巩固】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）有一个数，如果用它加上，然后乘以，再减去，最后除以，所得的商还是，那么这个数是。

【解析】将最终结果进行逆推，得：

【巩固】一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗?

【解析】.

【巩固】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?

【解析】（个），即共采集了250个树种子.

【巩固】（第七届《小数报》数学竞赛决赛填空题第6题）

在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：

如果输入的数是偶数，就把它除以2；如果输入的数是奇数，就把它加上3．同样的运算这样进行了3次，得出结果为27．原来输入的数可能是．

【解析】本题用倒推法解．最后结果是27，上一步的结果是54，再上一步的结果是108或51，原来输入的数是216，105，102．思路如下：

【例2】牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：

“牛老师您今年多少岁啦?

”牛老师有趣地回答：

“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?

【解析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应是多少？

没除以2时应是多少？

没减去16时应是多少？

没乘以2时应是多少？

这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：

；没除以2时应是：

；没减去16时应是：

；没乘以2时应是：

，即（岁）.

【巩固】小智问小康：

“你今年几岁？

”小康回答说：

“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4.请你算一算，我今年几岁？

”

【解析】分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。

这个数没除以5时应该是多少？

没没加上6时应该是多少？

没乘以7时应该是多少？

没减去8时应该是多少？

这样依次逆推，就可以推出某数。

如果没除以5，此数是：

如果没加上6，此数是：

如果没乘以7，此数是：

如果没减去8，此数是：

综合算式：

（岁）

答：

小康今年10岁。

【例3】学学做了这样一道题：

某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小朋友，你知道答案吗？

【解析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．

，，，综合算式为：

所以这个数为1.

解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．

【巩固】学学做了这样一道题：

一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？

【解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．

综合算式为：

【例4】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：

“我得了多少分？

”老师说：

“你的得分减去后，缩小倍，再加上后，扩大倍，恰好是分”．小刚这次竞赛得了多少分？

【解析】从最后一个条件“恰好是分”向前推算．扩大倍是分，没有扩大倍之前应是（分），加上后是分，没有加上前应是（分），缩小倍是分，那么没有缩小倍前应是（分），减去后是分，没有减去前应是（分）．

综合列式为：

（分）

所以，小刚这次竞赛得了分．

【例5】在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:

小新爷爷今年多少岁数?

【解析】采用倒推法，（岁）.

【巩固】学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：

“你一定不到100岁吧！

”谁知这位神仙摇摇头说：

“你们算算吧！

把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？

【解析】这就是一个还原问题，可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推，没乘10时是多少？

没减去15时是多少？

没除以时是多少？

没加75时是多少？

这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了．

⑴“乘以10，恰好是2000”，不乘10时，应该是：

⑵“减去15”是200，不减15时，应该是：

⑶“除以5”是215，不除以5，应该是：

⑷现在的年龄加上75是1075，如果不加75，这个数是：

也就是神仙现在的年龄是1000岁．

验算：

按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于2000，如果等于2000，则解题正确．

，，，．

【例6】哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？

【解析】被减数十位上的6变成9，使被减数增加，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了，这样又使差增加了3，这道题可以说成：

正确的差加上30后又加上3得577，求正确的差．所以列式得：

．这题的正确答案应该是544．

【巩固】小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的看作，十位上的看作，结果和是，那么正确的结果应该是多少呢？

【解析】我们可以这样理解这道题的意思：

一个数（正确答案），由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数（错误结果），我们知道引起这种变化的原因是：

①把个位上的看作，这就相当于把正确答案减少了

②把十位上的看作，这就相当于把正确答案增加了：

这样原题就变成了“一个数减去，再加上，所得结果是，求这个数．”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果

【巩固】淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?

【解析】或.

【巩固】小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？

【解析】倒推法，把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是：

.即：

.

【例7】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？

【解析】根据题意，画图倒推分析：

（米）

（米）

（米）

所以，这根绳子全长60米．

【巩固】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。

这捆电线原来有多少米？

【解析】为了帮助同学们分析数量关系，

可依照题意画出右图。

从线段图上可以看出：

余下的一半

第一次用去的

3米

图2

10米

第二次用去的

全长的一半

7米

第三次用去的15米

全长？

米

（1）（米），就是第一次用去后余下的一半。

（2）（米），就是余下的电线长度。

（3）（米），就是全长的一半。

（4）（米），就是原来电线的长度。

综合列式计算：

（米）

答：

这捆电线原来有54米。

【巩固】甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，问：

这批零件有多少个？

【解析】如右图所示，按照图与题目的条件，

剩下的一半

图3

零件的一半

10个

10个

？

25个

可以有如下算式：

（个）

（个）

（个）

（个）

列综合算式：

答：

这批零件共有160个。

【例8】货场原有煤若干吨。

第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。

货场原有煤多少吨？

【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图4，然后再分析。

第二次运进450吨

现有煤的一半

第一次用去原有煤的一半

图4

1倍

第三次运出的

原有煤？

吨

1200吨

2倍

50吨

结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。

根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。

（1）剩余煤的吨数是：

（吨）

（2）现有煤的一半是：

（吨）

（3）现有煤的吨数是：

（吨）

（4）原有煤的一半是：

（吨）

（5）原有煤的吨数是：

（吨）

答：

货场原来有煤1700吨。

【例9】食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少千克，第二天吃了余下的一半少千克，最后剩下千克．这批大米共有多少千克？

【解析】列式为：

（千克）

【巩固】山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：

树上原来有多少个桃子？

【解析】（个）.

【巩固】修建一条下水道，第一周修了全长的一半多米，第二周修了剩下的一半少米，第三周修了

米，最后还剩米，这条下水道长多少米？

【解析】如下图，从图中可知是第一周修后余下的一半，米是下水道全长的一半．

列式为：

（米）

所以，这条下水道长米．

画图法的关键：

标好有倍数关系的位置。

【例10】小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：

小丽原有多少钱？

4元

第一次剩下的一半

？

第二次剩下的一半

1元

4元

【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是（元），第二次剩下（元），第一次剩下（元），原来有（元）。

列综合算式：

答：

小丽原有24元。

【巩固】有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。

这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？

【解析】

甲取出的

余下的一半

一半

再余下的一半

乙取出的

1个

1个

1个

1个

丙取出的

从上面的线段图可以看出：

最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是（个）；

4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是（个）；

10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是（个）。

22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？

先求有多少个苹果：

（个）

再求每个苹果平均值多少钱：

（角）

答：

每个苹果平均值3角钱。

【例11】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛