高考文科数学立体几何题型与方法Word格式文档下载.docx
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相交（共面）垂直和异面垂直^
l1，l2是异面直线，则过l1/2外一点P,过点P且与11」2都平行平面有一个或没有，但与11」2距
离相等的点在同一平面内.（11或12在这个做出的平面内不能叫11与12平行的平面）
3.直线与平面平行、直线与平面垂直.
（1）空间直线与平面位置分三种：
相交、平行、在平面内^
（2）直线与平面平行判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这
条直线和这个平面平行.（线线平行，线面平行”）
（3）直线和平面平行性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，那么这条直线和交线平行.（线面平行，线线平行”）
（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个
平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直
4若PA，，a，AO,得a，PO（三垂线定理），
得不出±
PO.因为a，PO,但PO不垂直OA.
5三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：
如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行^
（5）
①射影
a.垂线段和斜线段长定理：
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；
③垂线段比任何一条斜线段短.
［注］:
垂线在平面的射影为一个点.［一条直线在平面内的射影是一条直线.（X）］
b.射影定理推论：
如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
4.平面平行与平面垂直.
（1）空间两个平面的位置关系：
相交、平行^
（2）平面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（线面平行，面面平行”）
垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
平行于同一平面的两个平面平行.
一平面间的任一直线平行于另一平面.
（3）两个平面平行的性质定理：
如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线
平彳T.（面面平行，线线平行”）
（4）两个平面垂直性质判定一：
两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直两个平面垂直性质判定二：
如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（线面垂直，面面垂直”）
注：
如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系^
（5）两个平面垂直性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面^
证明：
如图，找O作OA、OB分别垂直于I”,
因为PM,OA,PM,OB贝（jPMOA,PMOB
（6）两异面直线任意两点间的距离公式：
1dm2n2d22mncos（为锐角取加，为
cos1cos2
钝角取减，综上，都取加则必有
（7）最小角定理：
c0s
（1为最小角，如图）
5.锥、棱柱.
（1）棱柱性质
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；
直棱柱的各个侧面都是矩形；
正棱
柱的各个侧面都是全等的矩形.
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形
（X）
①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱
（直棱柱不能保证底面是银形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直^
（2）棱锥性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥白斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱
在底面内的射影也组成一个直角三角形
（3）球：
a.球的截面是一个圆面
2.
①球的表面积公式：
S4R.②球的体积公式:
b.纬度、经度:
①纬度：
地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数
②经度：
地球上A，B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面
的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经
度.
2,.
附：
①圆柱体积：
Vrh（「为半径，h为高）
12
Vrh
②圆锥体积：
3（r为半径，h为高）
1cVSh
③锥形体积：
3（S为底面积，h为高）
6.空间向量.
（1）a.共线向量：
共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合
z使OPxOAyOBzOC（这里隐含x+y+z*）.
则四点P、A、B、C是共面xyz1
x轴是横轴
为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）
①令a=（a1,a2,a3）,b血包也）,则
R）aba1bla2b2a3b3
’,‘‘一一，
aba1b1a2b2a3b30
2
a
3（用到常用的向量模与向量之间的转化:
空间两个向量的夹角公式
cosa,b
|a||b|
a1b1a2b2a3b3
a；
a；
a2由bfb|
（a=（a1,a2,a3）b=（b|,b2，h））
②空间两点的距离公式：
d'
（x2X1）2
、2,、2
（y2y1）（z2Z1）
b.法向量：
若向量a所在直线垂直于平面
则称这个向量垂直于平面，记作a,如果
a那么向量a叫做平面的法向量
c.用向量的常用方法:
设n是平面的法向量，AB是平面
|ABn|
其中A,则点B到平面的距离为
In|
d
②.异面直线间的距离
uurICD
|n|
uu
n|
r
（l112是两异面直线，其公垂向量为n,C、
D分别是l112
上任一点，d为.上间的距离）.
③.点B到平面的距离
uuuuu
|ABn|rr
|n|（n为平面的法向量，AB是经过面
的一条斜线,
④直线AB与平面所成角
uurir.ABmarcsin-uuu-u^u
|AB||m|（m为平面的法向量）.
⑤利用法向量求二面角的平面角定理：
设n1，n2分别是二面角1中平面
的法向量,
则n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（
n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反
方，则为其夹角）
面角
的平面角
irr
mn
arccos-ir-r-
|m||n|或
irrmnarccos-u=-r-irr
|m||n|（m,n为平面
的法向量）
7.知识网络
*须四
面甚本姓屋口公现城相率1
电工N『蚓杂M!
/总
U——句反委和平面H缕南植生垂直］
目三垂继定理I
两年面平疔1
军MF相空■羞而
—住两碣莘
4邛司~~匚重花标r垂建珪1
磔羲桂H黑舟门天国
庐吏方雨
线线平行
L球的衰面积，除痕|
线线垂直
判定痛
s!
ll
判定定理
线面垂直
线面平行
面面平行
面面垂直
性质定理判定1！
性质定理判定定理
性质定理
需定理
及其逆定理
三垂线定理
、经典例题剖析
考点一空间向量及其运算
2uur2uuur
-OB-OC
uuriuur
OP-OA
例题1.已知A，B，C三点不共线，对平面外任一点，满足条件5
试判断：
点P与A，B，C是否一定共面?
分析：
要判断点P与A，B，C是否一定共面，
即是要判断是否存在有序实数对x，y
uuruuu
APxAB
uuur
yAC或对空间任一点O,
uuu
OP
uuuuuuuuu
OAxAByAC。
解：
由题意:
uuuuur
5OPOA
uum
2OB
uur
2OC
uuu.（OP
OA）
2（OB
OP）
uiur
2（OC
AP
2PB
uun
2PC,即PA
2PC,
BD
1
BM1BD
AE上，且3
P与A，B，C共面.
点评：
在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要
条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算.
例题2.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线
AN1AE
3.求证：
MN〃平面CDE
uuunuuiruuir
共线，根据共面向量定理,
可知MN,CD,DE共面.由于MN不在平面CDE内，所以MN//
平面CDE点评：
空间任意的两向量都是共面的.
考点二证明空间线面平行与垂直
例题3.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点，（I）求证：
AC±
BC1；
（II）求证：
AC1//平面CDB1;
（1）证明线线垂直方法有两类：
一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直
来证明线线垂直；
（2）证明线面平行也有两类：
一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.
解法一：
（I）直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,
•••ACXBC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,AC±
BC1;
（II）设CB1与C1B的交点为E,连结DE,•「D是AB的中点，E是BC1的中点，，DE//AC1,
DE平面CDB1,AC1平面CDB1,/.AC1//平面CDB1；
解法二：
..•直三棱柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,，AC、BC、C1C两两
垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
3
则C（0,0,0）,A（3,0,0）,C1（0,0,4）,B（0,4,0）,B1（0,4,4）,D（2,2,0）
（I）AC=（—3,0,0）,BG=（0,—4,0）,AC?
BG=0,AC，BC1.
3_
（2）设CBi与CiB的交战为E,则E（0,2,2）.;
DE=（―2,0,2）,AG=（—3,0,
1-
DEAC1
2,DE//ACi.
平行问题的转化：
面面
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