最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》示范教案2.docx

最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》示范教案2.docx

《最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》示范教案2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》示范教案2.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》示范教案2

第二章解三角形

本章教材分析

1.本章知识框图

2.解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸,也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值.本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上.本章共分三节：

§1正弦定理与余弦定理,§2三角形中的几何计算,§3解三角形的实际应用举例.

正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系,它们是解三角形的两个重要定理.在实际测量中有许多应用,教科书介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用.本章内容具有很强的实践性,教科书安排了一个利用本章知识解决测量问题的实习作业.

3.本章的引言从台风问题引入,若台风中心现位于某沿海城市正东方向300km处,正以40km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?

这种影响持续多长时间?

这是我们经常听到的问题,也是我们经常关注的问题.要解决此类问题,有力工具之一便是解三角形的有关知识.这就点出了本章数学知识的实际背景,使学生初步认识学习解三角形知识的必要性.然后以一系列的实际问题引出本章要学习的数学知识.在初中,我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题.在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题,这些问题仅用锐角三角函数就不够了.例如：

（1）在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离;

（2）测量底部不可到达的建筑物的高度;（3）在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度;（4）测量海上航行的轮船的航速和航向.这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.在本章中,我们要学习正弦定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题.

4.本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上.章前图有与本章内容密切相关的海港和海上灯塔的背景图以及月球环形山照片,期望能够反映解三角形的理论和知识在天文、航海等人类探索自然的实践过程中所起的重要作用.

5.本章的课程目标：

学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并能运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

6.本章教学时间约需6课时,具体分配如下,仅供参考：

§1正弦定理与余弦定理

约2课时

§2三角形中的几何计算

约1课时

§3解三角形的实际应用举例

约2课时

本章复习

约1课时

§1正弦定理与余弦定理

1.1正弦定理

整体设计

教学分析

本节的主要任务是引入并证明正弦定理,在课型上属于定理教学课.做好正弦定理的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力.

在初中学习过关于任意三角形中大边对大角,小边对小角的边角关系,本节内容是处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系;这里一个重要的问题是,是否能得到这个边、角关系准确量化的表示.由于涉及边角之间的数量关系,就比较自然地引导到三角函数上去.让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？

”在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构.在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力.

本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算,这是一种基本运算能力,学生基本上已经掌握了.若在解题中出现了错误,则应及时纠正,若没出现问题就顺其自然,不必花费过多的时间.

三维目标

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法,会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.

2.通过正弦定理的探究学习,培养学生探索数学规律的思维能力,培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力.通过学生的积极参与和亲身实践,并成功解决实际问题.

3.通过本节学习,激发学生对数学学习的热情,培养学生独立思考和勇于探索的创新精神.

重点难点

教学重点:

正弦定理的证明及其基本运用.

教学难点:

正弦定理的探索和证明;已知两边和其中一边的对角解三角形时,判断解的个数.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.（特例导入）教师可先通过直角三角形特殊性质引导学生推出正弦定理形式,如Rt△ABC中的边角关系,若C为直角,则有a=csinA,b=csinB,这两个等式间存在关系吗？

学生可以得到,进一步提问,等式能否与边c和∠C建立联系？

从而展开正弦定理的探究.

思路2.（情境导入）如图1,某农场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点A和B,某日两个观测点的林场人员分别测到C处出现火情发生.在A处测到火情在北偏西40°方向,而在B处观测到火情在北偏西60°方向,已知B在A的正东方向10千米处.现在要确定火场C距A、B多远？

将此问题转化为数学问题,即“在△ABC中,已知∠CAB＝130°,∠CBA＝30°,AB=10千米,求AC与BC的长”.这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习一些解三角形的必要知识,今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理,由此展开新课的探究学习.

图1

推进新课

新知探究

提出问题

①阅读本章引言,明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题?

②回忆初中学习过的任意三角形中的边角关系,根据三角函数的定义,能否得到直角三角形中边、角量化的准确表示?

③由②得到的关系式,对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立?

④正弦定理的内容是什么,你能用文字语言叙述它吗?

你能用哪些方法证明它?

⑤利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢?

活动:

教师引导学生阅读本章引言,通过台风问题点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要,使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性.如教师可提出以下问题:

怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?

怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?

怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?

怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?

这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识,让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题.

关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系,教师引导学生探究其数量关系.先观察特殊的直角三角形.

如图2,在Rt△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,

图2

根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有=sinA,=sinB,

又sinC=1=,则===c.

从而在Rt△ABC中,==.

那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立呢?

教师引导学生画图讨论分析.

如图3,当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=asinB=bsinA,则.=

同理,可得=.

从而==.

图3

（当△ABC是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成.）

通过上面的讨论和探究,我们知道在任意三角形中,上述等式都成立.这就是我们今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理.

正弦定理:

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

上述的探究过程就是正弦定理的证明方法,即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明.教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想,同时点拨学生观察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中,各边与其对应角的正弦之间的一个关系式.正弦定理的重要性在于非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系,描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系.因为如果∠A<∠B,由三角形性质,得asin（π-A）=sinA,所以仍有sinA

正弦定理的证明方法很多,除了上述的证明方法以外,教师点拨学生也可以借助于向量方法或利用初中所学的平面几何知识证明正弦定理.

平面几何法:

如图4,在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于C′,设BC′=2R,则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′=90°,∠C=∠C′,

图4

∴sinC=sinC′=.

∴=2R.

同理,可得=2R,=2R.

∴===2R.

这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式==.

这种证明方法简洁明快.在巩固平面几何知识的同时,将任意三角形与其外接圆联系在一起,且引入了外接圆半径R,得到===2R这一等式,其变式为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可以更快捷地实现边角互化.特别是可以更直观看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系,为正弦定理的应用带来更多的便利.

向量法证明:

教师可引导学生回忆思考向量知识,向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度问题,从向量数量积的定义:

a·b=|a||b|cosθ,其中θ为两向量的夹角.我们知道两个向量的数量积与它们之间夹角的余弦值有联系.向量的方法为我们探索三角函数提供了一种非常重要的思想方法,我们曾用它推导了两角差的余弦公式.如用它推导正弦定理首先需考虑通过三角函数的诱导公式sinθ=cos（90°-θ）将正、余弦转化,这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索.

证明过程如下:

（1）如图5,△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.

图5

由向量的加法原则可得+=,

为了与图5中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到j·（+）=j,

由分配律可得j·+j·=j·.

∴|j|||cos90°+|j|||cos（90°-C）=|j|||cos（90°-A）.

∴asinC=csinA.

∴=.

同理,可得=.

∴.==

（2）如图6,△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C.

由,得,

即a·cos（90°-C）=c·cos（A-90°）,

∴asinC=csinA.

∴=.

图6

同理,可得=.

∴==.

（3）当△ABC为直角三角形时,==显然成立.

综上所述,正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立.

课本上用坐标法结合向量很巧妙地证出了正弦定理,过程如下:

如图7所示,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y轴上的射影为C′.