版高考理科数学人教A版一轮复习 教师用书第6讲 对数与对数函数Word格式.docx
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a<
图象
续 表
定义域:
(0,+∞)
值域:
R
过定点(1,0)
当x>
1时,y>
0当0<
x<
1时,y<
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
常用结论
1.换底公式的三个重要结论
①logab=;
②logambn=logab;
③logab·
logbc·
logcd=logad.
2.对数函数的图象与底数大小的关系
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0<
c<
d<
1<
b.
由此我们可得到以下规律:
在第一象限内与y=1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大.
二、习题改编
1.(必修1P68T4改编)(log29)·
(log34)=________.
解析:
(log29)·
(log34)=×
=×
=4.
答案:
4
2.(必修1P73探究改编)若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f
(2)=________.
由题意知f(x)=log2x,
所以f
(2)=log22=1.
3.(必修1P71表格改编)函数y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点________.
当4-x=1即x=3时,y=loga1+1=1.
所以函数的图象恒过点(3,1).
(3,1)
4.(必修1P82A组T6改编)已知a=2-,b=log2,c=log,则a,b,c的大小关系为________.
因为0<
1,b<
0,c=log=log23>
1.所以c>
c>
b
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)loga(MN)=logaM+logaN.( )
(2)logax·
logay=loga(x+y).( )
(3)函数y=log2x及y=log3x都是对数函数.( )
(4)对数函数y=logax(a>
0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( )
(5)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( )
(6)对数函数y=logax(a>
0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只经过第一、四象限.( )
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√ (6)√
二、易错纠偏
(1)对数函数图象的特征不熟致误;
(2)忽视对底数的讨论致误;
(3)忽视对数函数的定义域致误.
1.已知a>
0,a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是________.(填序号)
函数y=loga(-x)的图象与y=logax的图象关于y轴对称,符合条件的只有②.
②
2.函数y=logax(a>
0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=________.
分两种情况讨论:
①当a>
1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;
②当0<
1时,有loga2-loga4=1,解得a=.所以a=2或.
2或
3.函数y=的定义域是________.
由log(2x-1)≥0,得0<
2x-1≤1.
所以<
x≤1.
所以函数y=的定义域是.
[学生用书P27]
对数式的化简与求值(自主练透)
1.计算(lg2)2+lg2·
lg50+lg25的结果为________.
原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg4+lg25=2.
2
2.若lgx+lgy=2lg(2x-3y),则log的值为________.
依题意,可得lg(xy)=lg(2x-3y)2,
即xy=4x2-12xy+9y2,
整理得:
4-13+9=0,解得=1或=.
因为x>
0,y>
0,2x-3y>
0,
所以=,所以log=2.
3.设2a=5b=m,且+=2,则m等于________.
由2a=5b=m得a=log2m,b=log5m,
所以+=logm2+logm5=logm10.
因为+=2,所以logm10=2.
所以m2=10,所以m=.
4.已知log23=a,3b=7,则log32的值为________.
由题意3b=7,所以log37=b.
所以log32=log====.
对数运算的一般思路
(1)拆:
首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合:
将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
对数函数的图象及应用(典例迁移)
(1)(2019·
高考浙江卷)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a>
0,且a≠1)的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)=,若存在实数a,b,c,d,满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),其中d>c>b>a>0,则abcd的取值范围________.
【解析】
(1)对于函数y=loga,当y=0时,有x+=1,得x=,即y=loga的图象恒过定点,排除选项A、C;
函数y=与y=loga在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D.
(2)
由题意可得-log3a=log3b=c2-c+8=d2-d+8,
可得log3(ab)=0,故ab=1.
结合函数f(x)的图象,在区间[3,+∞)上,
令f(x)=1可得c=3、d=7、cd=21.
令f(x)=0可得c=4、d=6、cd=24.
故有21<abcd<24.
【答案】
(1)D
(2)(21,24)
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>
0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>
1,c>
B.a>
1,0<
C.0<
D.0<
选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<
1.
2.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是________.
问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>
(1,+∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 比较大小
已知a=log2e,b=ln2,c=log,则a,b,c的大小关系为( )
b>
c B.b>
c
C.c>
aD.c>
【解析】 因为c=log=log23>
log2e=a,所以c>
a.
因为b=ln2=<
log2e=a,
所以a>
所以c>
【答案】 D
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同
可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
角度二 解简单对数不等式
已知不等式logx(2x2+1)<
logx(3x)<
0成立,则实数x的取值范围是________.
【解析】 原不等式⇔①
或②,
解不等式组①得<
,
不等式组②无解,
所以实数x的取值范围是.
【答案】
求解对数不等式的两种类型及方法
类型
方法
logax>
logab
借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>
1与0<
1两种情况讨论
需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
[提醒] 注意对数式的真数大于零,且不等于1.
角度三 与对数函数有关的综合问题
已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?
如果存在,试求出a的值;
如果不存在,请说明理由.
【解】
(1)因为a>
0且a≠1,设t(x)=3-ax,
则t(x)=3-ax为减函数,
x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,
即x∈[0,2]时,3-ax>
0恒成立.
所以3-2a>
0.所以a<
.
又a>
0且a≠1,所以a∈(0,1)∪.
(2)t(x)=3-ax,因为a>
所以函数t(x)为减函数.
因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,
所以y=logat为增函数,
1,当x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f
(1)=loga(3-a),
所以即
故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1.(2019·
高考天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<
bB.a<
b<
C.b<
aD.c<
选A.a=log52<
log5=,而c=0.50.2>
0.51=,故a<
c;
b=log0.50.2>
log0.50.25=2,而c=0.50.2<
0.50=1,故c<
b.所以a<
2.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>
0,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.(0,+∞)
选A.因为-1<
0,所以0<
x+1<
1.又因为f(x)>
2a<
1,所以0<
3.已知a>
0,若函数f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上是增函数,则a的取值范围是________.
要使f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,
则y=ax2-x在[3,4]上单调递增,
且y=ax2-x>
0恒成立,
即解得a>
[学生用书P29]
数形结合法在对数函数问题中的应用
设方程10x=|lg(-x)|的两个根分