机械振动张义民课后习题答案Word文件下载.docx
《机械振动张义民课后习题答案Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《机械振动张义民课后习题答案Word文件下载.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
所以固有频率为
(B)习题图2-1(B)所示系统可能有下面两种运动帖况:
①在机垂i⅛振动的整个过稈中•杆被约束保持水平位置(见图(b)■①);
②在悬挂的铅垂面内,杆可以自由转动(见图(b"
②)。
①在杆保持水平的情况下,弹簧d和屜并联,有
怎q=血+缸
②当杆可以自由转动时•杆和质虽m的运动会出现非水平的一般状态。
设A点的位移为点的位移为H2,加的位移为工,则静力方程利静力矩方程为
ZIlXl+k2X3=AalH
QJrILl=k2xzL2
几何关系
又
LI十L2=L由以匕方程解得
=kλkz∖}
eqkiL↑±
kzLl
(C)系统简化过程如习题图2-1(C)所示。
等效弹簧刚度为
其中
2.2如习题图2・2所示的系统中均质刚杆AB的质帚为加,A端弹簧的刚度为仁求()点铃链支座放在何处时系统的固有频率最高。
设&
坐标如习题图2-2所示。
系统的动能为
=-ym(nZ)2^l—++右片=-I-^eq(WZ^)2(I)
等效质量加“可以表示为
(3)
习题图2-3
山于固有频率与质量的平方根成反比,即3严厲、欲得最高的固有频率,必须使〃G为
最小,即
d叫_3”_2_dn3n3
得
2n=T
代入二阶导数•得
d'
/Meq_2(1—”)、∩
~lnr_~^√>
是极小值•故饺链应放在距A端彳L处。
2.3如习題图2-3所示为一个测低频振幅用的测振仪的倒置摆。
(1)试导出系统的鏗态稳定平衡条件。
'
WVA
⅛<
∙∙上
机械損动习題鮮答
(2)已知整个系统对转动轴O的转动惯帚Io=I.725X107N・m∙s?
及怡=24.5N∕m,Zn=O.0856kg«
/=4cm・h=5cm。
求系统的固有频率。
(1)设0坐标如习题图2・3所示。
系统的势能为
U=-∣-Λ(W)2-WgZd-COS9)
(1)
由理论力学可知,一个系统的静态平衡是稳定的还是不稳定的,决定于它的势能是极小值还是极大值。
由
第=kb2θ~rnglsinθ=0
0=0
(4⅛)=(bb'
—nifζlCOS^)β=0=kb2—mgl
∖GUer/9=q
=0.0276948(N∙m)>
0
(4)
故(畀LO=财一加以>
0时为稳定平衡。
在振动理论中,也可以山等效刚度的正负来判断。
因为系统的动能为
T=寺加
由£
(T+U〉=O,得系统的振动微分方程
Iijθ+Ckb2—TnliI)O=0
(6)
由此得固冇频率
kb2—mgl
VlO
式中keii=kb2-7nfζl>
0为静态稳定平衡条件•即等效刚度为正值时•系统是静态稳定平衡的;
反之•等效刚度为负值(称为负刚度)时•将导致系统静态不稳定平衡。
(2)系统的频率为
=0.6377(HZ)
f_3n_1
2π2π
2.4某测振仪结构如习题图2-4所示。
摆重量为Q•由扭转刚度为爲的弹簧连接.并维持与铅垂方向成α角的位置。
摆对()点的转动惯量为几摆的重心到转动轴O点的距离为几求此测振仪的白拆周期。
设坐标华如习题图Z-4所示。
在静平衡时
為卩=QSina式中卩为弹簧為的初始转角。
微振动时・由动量矩定理•有
(8)
Iφ=—IZIfI(P—P)—QVSin(α+甲)将式
(1)代入式
(2)•并使COS卩"
1.sin严卩得
Iφ+(爲+QCoSα)φ=0
故
^jkf÷
QSCOSa
2.5用能量法求习题图2-5所示均质圆柱体的f⅛∣有频率。
已知圆柱体的质量为加・半径为r与固定水平面无相对滑动,弹簧刚度为八连接点A距圆柱体质心O的距离为a。
系统的动能和势能分别为
^mr2θ2+ymr2⅛2
乙
U=2[y^(x+αsin抄卜2Γy^(r÷
α)2^]
(2)
g(T+U)=0(3)
dr
O••••
^nιr2θθ+2k(r÷
α)2^=O(4)
或
Q+"
Y+f>
2-O(5)
3zzιro
市此得固有频率为
机械振动习题鮮答
在摇杆摆到最大角位移久叽处时,系统的最大势能包括的部分。
弹簧变形后储存的弹性势能为
UZ=2×
y^α2l9Lx=ka2&
质量块加的重心下降后的重力势能为
S"
=—WgZ(I—COSOmaQQ-τnfξl苧=—Tngly
ω_丄2kg2—γngl
2π2π∖Io
代入数据•得
1/2×
0.03×
3∙542一0.0856X4
2π√1.76XIO"
2
由此看到传感器的敏感系统的固有频率很低•因而可以用来测最约在2〜80HZ频率范围的低频振动。
2.7某仪器中一元件为等截面的悬臂梁,质最可以忽略不计•如习题图2-7所示。
在梁的口由端有两个集中质⅛tE与m•由电磁铁吸住。
若在梁静止时打开电磁铁开关,使g突然释放。
试求m的振幅。
习题图2-7
方法1把梁门由端只有如时的静平衡位置设为原点•设工坐标如习题图2・7所示。
振动微分方程为
代入解(10)可得
机械振动习題鮮答
则梁的动能为
机水平方向的刚度至少应达何值?
衰减次数
>
=⅛ln⅛=δ⅛lnV=3O(Jk)(I)
衰减时间
I=jT=2町買
(2)
k=号工利Wl=4卅X*驚24500=139.28×
104(N∕m)(3)
2.1()如习题图2-10所示的系统由一质呆为刃、长为Z的均匀杆及弹簧趴阻尼器C组成。
试导出系统的自由振动微分方程•并求岀其衰减振动时的频率。
设0为从胖平衡位詈摆动的角度。
对镀支点O取矩•用动最矩定理导出振动微
分方程
2O+cl2b+ka20=O
∙∙3r∙3Zv√2
o十屯&
十^re=O
(2)
于是
a[3kω'
∙=T√^Γ
∕13cil2
ωdωn√1Manai
2.11利用习题图2-11所示装登测某液体的粘度系数;
z。
一等厚薄板重城为W•而积为A・悬挂于弹赞怡上。
先使系统在空气中口由振雨,测得周期为「(空气阻力忽略不
计)。
然后放入被测液体中作衰减振动•测得周期为儿,已知薄板受到的阻力F=2μAv(P为相对速度)・试证明
在空气中
在液体屮
—X+ZtlAX+&
=0g
从中得
结合⑴和(3)两式,即得
½
)2[⅛),-m>
ι降)普)=皿fμ=MlVr2"
r
2.12一重为5N的重物,挂于刚度系数为2N/cm的弹黄上,山于系统具有粘性阻尼•故重物经过4次振动后•振幅减到原来的试求该系统的对数减幅系数和周期。
对数减幅系数久固有频率©
、相对阻尼系数<
衰减振动的周期'
几可以分别表示为
2π
2〃如2
γ∙=2开=
d√∏rξrωn19.799√T≡ζj
联立式
(1)和式
(2),解得衰减振动的周期为