数据结构期末复习题讲解.docx

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数据结构期末复习题讲解

（1）若以1234作为双端队列的输入序列，则既不能由输入受限双端队列得到，也不能由输出受限双端队列得到的输出序列是（　　　）。

A）1234B）4132C）4231D）4213

（2）将一个A[1..100,1..100]的三对角矩阵，按行优先存入一维数组B[298]中，A中元素a66,65在B数组中的位置k为（　　　）（假设B[0]的位置是1）。

A）198B）195C）197D）198

（3）若度为m的哈夫曼树中，其叶结点个数为n，则非叶结点的个数为（　　　）。

A）n-1B）C）D）

（4）若一个有向图具有拓扑排序序列，并且顶点按拓扑排序序列编号，那么它的邻接矩阵必定为（　　　）。

A）对称矩阵B）稀疏矩阵C）三角矩阵D）一般矩阵

（5）设森林F对应的二叉树为有m个结点，此二叉树根的左子树的结点个数为k，则另一棵子树的结点个数为（　　　）。

A）m-k+1B）k+1C）m-k-1D）m-k

（6）假定有K个关键字互为同义词，若用线性探测法把这K个关键字存入散列表中，至少要进行（　　　）次探测。

A）K-1次B）K次C）K＋l次D）K（K+1）/2次

（7）一棵深度为k的平衡二叉树，其每个非终端结点的平衡因子均为0，则该树共有（　　　）个结点。

A）2k-1-1B）2k-1C）2k-1+1D）2k-1

（8）如表r有100000个元素，前99999个元素递增有序，则采用（）方法比较次数较少。

A）直接插入排序B）快速排序C）归并排序D）选择排序

（9）如果只考虑有序树的情形，那么具有7个结点的不同形态的树共有（　　　）棵。

A）132B）154C）429D）前面均不正确

（10）对n（n>=2）个权值均不相同的字符构成哈夫曼树，关于该树的叙述中，错误的是（）。

A）该树一定是一棵完全二叉树

B）树中一定没有度为1的结点

C）树中两个权值最小的结点一定是兄弟结点

D）树中任一非叶结点的权值一定不小于下一任一结点的权值

二、（本题8分）

斐波那契数列Fn定义如下：

F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2

请就此斐波那契数列，回答下列问题：

（1）在递归计算Fn的时候，需要对较小的Fn-1，Fn-2，…，F1，F0精确计算多少次？

（2）若用有关大O表示法，试给出递归计算Fn时递归函数的时间复杂度是多少？

三、（本题8分）

证明：

如果一棵二叉树的后序序列是,,…,，中序序列是,,…,，则由序列1,2,…,n可通过一个栈得到序列,,…,。

四、（本题8分）

如下图所示为5个乡镇之间的交通图，乡镇之间道路的长度如图中边上所注。

现在要在这5个乡镇中选择一个乡镇建立一个消防站，问这个消防站应建在哪个乡镇，才能使离消防站最远的乡镇到消防站的路程最短。

试回答解决上述问题应采用什么算法，并写出应用该算法解答上述问题的每一步计算结果。

五、（本题8分）

证明一个深度为n的AVL树中的最少结点数为：

Nn=Fn+2-1（n≥0）

其中，Fi为Fibonacci数列的第i项。

六、（本题8分）

简单回答有关AVL树的问题：

（北方名校经典试题）

（1）在有n个结点的AVL树中，为结点增加一个存放结点高度的数据成员，那么每一个结点需要增加多少个字位（bit）？

（2）若每一个结点中的高度计数器有8bit，那么这样的AVL树可以有多少层？

最少有多少个关键字？

七、（本题8分）

设有12个数据{25，40，33，47，12，66，72，87，94，22，5，58}，它们存储在散列表中，利用线性探测再散列解决冲突，要求插入新数据的平均查找次数不超过3次。

（1）该散列表的大小m应设计多大？

（2）试为该散列表设计相应的散列函数。

（3）顺次将各个数据散列到表中。

（4）计算查找成功的平均查找次数。

八、（本题8分）

已知某电文中共出现了10种不同的字母，每个字母出现的频率分别为A：

8，B：

5，C：

3，D：

2，E：

7，F：

23，G：

9，H：

11，I：

2，J：

35，现在对这段电文用三进制进行编码（即码字由0，l，2组成），问电文编码总长度至少有多少位？

请画出相应的图。

九、（本题9分）

已知一棵度为m的树中有N1个度为1的结点，N2个度为2的结点，…，Nm个度为m的结点。

试问该树中有多少个叶子结点？

（北方名校经典试题）

十、（本题15分）

试用递归法编写输出从n个数中挑选k个进行排列所得序列的算法。

模拟试题（七）参考答案

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

（1）参考答案：

C）

（2）【分析】如下所示，三对角矩阵第1行和最后1行非零元素个数为2个，其余各行的非零元素个数是3个，所知a66,65前面共有2+3*64＝194个非零元素，a66,65本身是第195个非零元。

参考答案：

B）

（3）【分析】在哈夫曼树的非叶结点中最多只有1个结点的度不为m，设非叶结点的个数为k，则其中有k-1个结点的度为m，设另1个结点的度为u，则2≤u≤m，设结点总数为n总，则有如下关系：

n总-1=m（k-1）+u①

n总=k+n②

将②代入①可得：

k+n-1=m（k-1）+u，解得：

，由于2≤u≤m，所以可得0≤m-u＜m-1，所以可得：

≤k＜+1，可知。

参考答案：

C）

（4）【分析】设顶点按拓扑排序序列为：

v0,v1,…,vn-1，则对于邻接矩阵A，只有当i，也就是当i>j时，一定没有弧，所以这时A[i][j]=0，可知邻接矩阵为三角矩阵。

参考答案：

C）

（5）【分析】设另一棵子树的结点个数为n，所以有m=n+k+1，可知n=m-k-l。

参考答案：

C）

（6）【分析】因为K个关键字互为同义词，只有在存入第一个关键字的情况下不发生冲突，所以至少需进行1+2+…+K=K（K+1）/2次探测。

参考答案：

D）

（7）【分析】由于每个非终端结点的平衡因子均为0，所以每个非终端结点必有左右两个孩子，且左子树的高度和右子树的高度相同，这样AVL树是满二叉树。

高度为k的满二叉树的结点数为2k-l。

参考答案：

D）

（8）【分析】本题中只有直接插入排序利用前面有序的子序列这个性质，如用直接插入排序对本题只需将最后一个元素插入到前面99999个元素的有序子序列中即可，显然比较次数较少。

参考答案：

A）

（9）【分析】具有n个结点有不同形态的树的数目和具有n-l个结点互不相似的二叉树的数目相同（将树转化为二叉树时，根结点右子树为空，所以除根结点而外只有左子树，其不相似的二叉树的等价于不相似的左子树）。

具有n个结点互不相似的二又树的数目为，本题中应为。

参考答案：

A）

（10）参考答案：

A）

二、（本题8分）

【解答】

（1）设在计算Fn时，由Fn-1+Fn-2可知Fn-1要精确计算1次；

由Fn-1=Fn-2+Fn-3可知Fn=2Fn-2+Fn-3，Fn-2要精确计算2次；

由Fn-2=Fn-3+Fn-4可知Fn=3Fn-3+2Fn-4，Fn-3要精确计算3次，Fn=3Fn-3+2Fn-4公式中Fn-3的系数为Fn-3要精确计算次数，而Fn-4的系数为Fn-2要精确计算次数，以此类推，设Fn-j的精确计算次为aj，则有：

Fn=aj*Fn-j+aj-1*Fn-j-1。

由Fn-j=Fn-j-1+Fn-j-2可知Fn=（aj+aj-1）*Fn-j-1+aj*Fn-j-2，Fn-j-1的精确计算次数为aj+1，所以有：

aj+1=aj+aj-1

由于Fn-1要精确计算a1为1次，即a1=1，即可知Fn-1，Fn-2，…，F1，F0的精确计算次为：

1，2，3，5，……，aj=aj-1+aj-2……

与斐波那契数列数列：

0，1，2，3，5，……，Fn=Fn-1+Fn-2……

比较可知aj=Fj+1。

（2）由于Fn的计算最终要转化为F0与F1之和，其加法的计算次数为F0与F1的精确计算次数之和再减1之差，由于F0=Fn-n与F1=Fn-（n-1），所以计算Fn时，加法计算次数为：

an+an-1-1=Fn+1+Fn-1

由于Fn=，可知时间复杂度为O（）。

三、（本题8分）

【解答】当n=1时，结论显然成立。

设n<=k时结论成立，当n=k+1时，设一棵二叉树的后序序列是,,…,，中序序列是,,…,，可知是二叉树的根结点，设，可知{,,…,}是左子树的结点集合，{,,…,}是右子树的结点集合，进一步可知：

（1）左子树的后序序列是,,…,，中序序列是,,…,，由归纳假设知序列1,2,…,j-1可以通过一个栈得序列,,…,。

（2）右子树的后序序列是,,…,，中序序列是,,…,，设，，…，；，，…，，则，，…，，由归纳假设知序列1,2,…,n-j可以通过一个栈得序列，，…，，显然按同样的方式，j,j+1,…,n-1可以通过一个栈得序列,,…,，也就是，，…，。

由

（1）

（2）及可知由1,2,…,n可通过一个栈得到序列,,…,。

由数学归纳法可知本题结论成立。

四、（本题8分）

【解答】由弗洛伊德（Floyd）算法进行求解，具体步骤如下：

，；

，；

，。

设乡镇vi到其他各乡镇的最远距离为max_disdance（vi），则有：

max_disdance（v1）=12，max_disdance（v2）=15，max_disdance（v3）=10，max_disdance（v4）=10，max_disdance（v5）=15，所以可知消防站应建在v3或v4乡镇，才能使离消防站最远的乡镇到消防站的路程最短。

五、（本题8分）

【解答】对n用归纳法证明。

当n＝1时，有N1=F3-l=2-l=1到。

当n=2时，有N2=F4-1=3-1=2。

设n

当n=k+1，对于一个k+l层深度的平衡二叉树而言，其左右子树都是平衡的。

结点数为最少的极端情况，故左右子树中的结点数是不相等的，设其中一个是k层深度的二叉平衡树，另一个是k-l层深度的二叉平衡树。

所以有：

Nk+1=1+Nk+Nk-1==1+（Fk+2-1）+（Fk+1-1）=Fk+2+Fk+1-1=Fk+3-1

当n=k+1时成立，由此可知深度为n都等式都成立。

六、（本题8分）

【解答】n个结点的平衡二叉树的最大高度为，设表示高度需xbit，则有关系式：

2x≥h＞2x-1，所以有：

（2）设深度为h的平衡二叉树的最少关键字数为nh，则有公式：

，本题中8bit的计数器共可以表示28=256层，即高度为256，从而可知最少有个关键字。

七、（本题8分）

【解答】

（1）线性探测再散列的哈希表查找成功的平均查找长度为：

≤3，解得α≤4／5，也就是12/m≤4／5，所以m≥15，可取m=15。

（2）散列函数可取为H（key）=key%13

（3）散列表如表7-4所示。

散列表

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

40

66

94

5

58

33

47

72

87

22

25

12

（4）12个数据{25，40，33，47，12，66，72，87，94，22，5，58｝的比较次数分别是：

1，1，1，1，2，2，3，2，1，3，1，1。

可知查找成功的平均查找次数=（1+1+1+1+2+2+3+2+1+3+1+1）/12=1.25

八、（本题8分）

【解答】有n个叶子结点的带权路径长度最短的二