小学思维数学公式法计算运用带答案解析.docx

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小学思维数学公式法计算运用带答案解析

公式法计算

知识点拨

一、常用公式

1.；

2.；

3.；

4.；

5.等比数列求和公式：

（）；

6.平方差公式：

；

7.完全平方公式：

，；

用文字表述为：

两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的倍，两条公式也可以合写在一起：

．为便于记忆，可形象的叙述为：

“首平方，尾平方，倍乘积在中央”．

二、常用技巧

1.；

2.；

3.，，，

，，；

4.，其中．

例题精讲

一、前项和

【例1】

【考点】公式法之求和公式【难度】2星【题型】计算

【解析】

【答案】

【巩固】

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

【答案】

【例2】计算：

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

【答案】

【例3】计算：

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：

___________．

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【解析】与公式相比，缺少偶数项，所以可以先补上偶数项．

原式

【答案】

【例4】计算：

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【解析】原式

【答案】

【例5】计算：

。

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【关键词】西城实验

【解析】原式

其中也可以直接根据公式得出

【答案】

【例6】计算：

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】分拆（），（）再用公式

原式

【答案】

【例7】对自然数和，规定，例如，那么：

⑴______________；

⑵______________．

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴原式

⑵原式

【答案】⑴⑵

【巩固】看规律，，……，试求

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【关键词】人大附中

【解析】原式

【答案】

【例8】计算：

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】法一：

利用等比数列求和公式。

原式

法二：

错位相减法．

设

则，，整理可得．

法三：

本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1，所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项

的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．

由题设，，则运用“借来还去”的方法可得到，

整理得到．

【答案】

【例9】计算的值。

（已知，，，，，，，）

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数的指数减少，的指数增加.所以每一个加数是前一个加数的倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为的等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。

记,

，那么，即原式的值为.

【答案】

【例10】．

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营

【解析】原式

【答案】

【解析】计算：

．

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【解析】原式

【答案】

【解析】

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【解析】原式

【答案】

【例11】计算：

【考点】公式法之求和公式【难度】4星【题型】计算

【解析】设算式的值为，那么，

　　　　，

　　　　即，

故，则，

所以，

．

【答案】

二、平方差与完全平方公式

【例12】⑴________；

⑵________．

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营

【解析】⑴观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设，

原式

⑵原式

【答案】⑴⑵

【巩固】

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】方法一：

原式

方法二：

原式

【答案】

【巩固】

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：

＝。

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，6年级，决赛

【解析】题目分析：

答案为100000。

记原式为X，则

10X=314×314+628×686+686×686

=3142+2×314×686+6862

=（314+686）2=1000000，所以，X=100000。

【答案】

【例13】有一串数，，，，，……它们是按一定规律排列的，那么其中第个数与第个数相差多少？

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【解析】这串数中第个数是，而第个数是，它们相差

【答案】

【巩固】代表任意数字，若，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧．

⑴　⑵　　　⑶　⑷

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】计算

【解析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式来进行下面的计算:

⑴

⑵

⑶

⑷

【答案】⑴⑵⑶⑷

【例14】计算：

．

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，中年级组，决赛

【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．

原式

其中可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式

进行计算．

【答案】

【例15】．

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【关键词】迎春杯，初赛

【解析】原式

【答案】

三、公式综合运用

【例16】计算：

．

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】仁华学校

【解析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，……，99，乘数依次为4，7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为，乘数可以表示为，所以通项公式为．所以，

原式

另解：

如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算．

原式

而和都是我们非常熟悉的．

，

，

所以原式

小结：

从上面的计算过程中可以看出，，而，

所以有

【答案】

【例17】计算：

．

【考点】公式法之综合运用【难度】4星【题型】填空

【解析】，

所以，

，

所以原式

【答案】

【例18】计算：

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【关键词】北京二中，入学测试

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】这个题目重新整理得：

【答案】

【巩固】计算：

．

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】做这道题的时候，可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：

，，，．

于是，原式

【答案】

【例19】

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

【答案】

【例20】计算：

．

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：

．

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空

【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．

原式

【答案】

【巩固】

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，4年级

【解析】原式

【答案】

【例21】计算：

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：

．

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空

【解析】原式

【答案】

【例22】计算：

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

【答案】

【例23】计算：

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

【答案】