中考数学专题复习圆的最值问题模型汇总Word下载.docx

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类型一已知圆轨迹类

典例分析

【例1.1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线L上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°

，直线L不经过点C，则AB的最小值为．

【例1.2】如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（　　）

A．B．C．3D．2

【练习】

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）.

A．B．C．5D．

2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．

3.如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°

，点M，N分别是AB，AC的中点，则线段MN长的最大值为（）

A.5B.C.D.

类型二由定义构造辅助圆

圆的定义：

平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：

若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是以定点为圆心、定值为半径的圆或圆弧．

常见题型：

折叠问题

【确定圆心半径的方法】

①圆心:

折痕中的定点;

②半径:

与定点（圆心）相连的（定）等长线段.

【例2.1】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°

，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是．

【例2.2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是。

1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将∠EBF沿EF所在直线折叠得到,则的最小值为。

2.如图，在RtABC中，∠ACB=90°

AC=2,BC=3,点D是边BC的中点，点E是AB上任意一点（点E不与点B重合）沿DE翻折∠DBE使点B落在点F处，连接AF,则线段AF的最小值为。

3.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线L是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线L折叠，点B的对应点是点．当PB=6时，在直线L变化过程中，求△AC面积的最大值．

4.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是．

类型三定角对定边

【知识回顾】直径所对的圆周角是直角．

【构造思路】一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

【图形释义】

若AB是一条定线段，且∠APB=90°

，则P点轨迹是以AB为直径的圆．

【解题关键】挖掘直角，确定定边．

【例3.1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为．

【确定定边】

【例3.2】如图， 

AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．

【挖掘直角，确定定边】

【例3.3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．

【例3.4】如图,已知边长为2的正△ABC,两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动,点C在∠MON内部,则OC的长的最大值为　　　　　.

1.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是．　

2.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是．

3.如图，∠MON=90°

，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为　．

【例1.11】如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．

【辅助圆+将军饮马】

【例3.6】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为_．

【辅助圆+相切】

【例3.7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠B=30°

，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是．

1.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是　．

类型四定边对定角

在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等．定边必不可少，而直角则一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．

当然，∠P度数也是特殊角，比如30°

、45°

、60°

、120°

，下分别作对应的轨迹圆．

若∠P=30°

，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=45°

，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=60°

，以AB为底，同侧构造顶角为120°

的等腰三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=120°

，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°

【当定边所对定角为β的时候，以定边为弦，2β为圆心角构造圆】

【例4.1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为．

【例4.2】在△ABC中，AB=4，∠C=60°

，∠A>

∠B，则BC的长的取值范围是．

1.如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．．

2.如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．