1、类型一 已知圆轨迹类典例分析【例1.1】如图,已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点,经过点O的直线L上有两点A、B,且OA=OB,APB=90,直线L不经过点C,则AB的最小值为 【例1.2】如图,O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切O于点Q,则PQ的最小值为()A B C3 D2【练习】1.如图,在RtABC中,C=90,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是( ).A B C5 D2.如图,在等腰RtABC中,C=90,AC=BC=4,D是AB的中点,点E在AB边
2、上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作O,O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为 3.如图,AB是O的弦,AB5,点C是O上的一个动点,且ACB45,点M,N分别是AB,AC的中点,则线段MN长的最大值为( )A. 5 B. C. D.类型二 由定义构造辅助圆圆的定义:平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合构造思路:若动点到平面内某定点的距离始终为定值,则其轨迹是以定点为圆心、定值为半径的圆或圆弧常见题型:折叠问题【确定圆心半径的方法】圆心:折痕中的定点;半径:与定点(圆心)相连的(定)等长线段.【例2.1】如图,在边长为2的菱形ABCD中,A=60,M
3、是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将AMN沿MN所在直线翻折得到MN,连接C,则C长度的最小值是 【例2.2】如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 。1.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E为AB边的中点,F是BC边上的动点,将EBF沿EF所在直线折叠得到,则的最小值为 。2.如图,在RtABC中,ACB=90,AC=2,BC=3,点D是边BC的中点,点E是AB上任意一点(点E不与点B重合)沿DE翻折DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF的最小值为
4、 。3.如图,已知等边ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)直线L是经过点P的一条直线,把ABC沿直线L折叠,点B的对应点是点当PB=6时,在直线L变化过程中,求AC面积的最大值4.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,AE=2,AEQ沿EQ翻折形成FEQ,连接PF、PD,则PF+PD的最小值是 类型三 定角对定边【知识回顾】直径所对的圆周角是直角【构造思路】一条定边所对的角始终为直角,则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧【图形释义】若AB是一条定线段,且APB=90,则P点轨迹是以AB为直径的圆【解题关键】挖掘直角,确定定
5、边【例3.1】已知正方形ABCD边长为2,E、F分别是BC、CD上的动点,且满足BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则PC的最小值为 【确定定边】【例3.2】如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=5,AC=4D是弧BC上的一个动点,连接AD,过点C作CEAD于E,连接BE在点D移动的过程中,BE的最小值为 【挖掘直角,确定定边】【例3.3】如图,在RtABC中,ACB=90,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作圆O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为 【例3.4】如图, 已知边长为2的正ABC, 两顶点A、B分别在直角MON的两边上滑动, 点C在MON
6、内部, 则OC的长的最大值为.1.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是 2.如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC,则线段CP长的最小值是 3.如图,MON=90,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为 【例1.11】如图,正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发,以相同
7、的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动,当点E到达点B时,运动停止,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为 【辅助圆+将军饮马】【例3.6】如图,正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点,连接BE,过点A作AFBE于点F,点P是AD边上另一动点,则PC+PF的最小值为 _【辅助圆+相切】【例3.7】如图,在RtABC中,ACB=90,B=30,AB=4,D是BC上一动点,CEAD于E,EFAB交BC于点F,则CF的最大值是 1.如图,定长弦CD在以AB为直径的O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CPAB于点P,若CD=3,AB=8,
8、则PM长度的最大值是 类型四 定边对定角在“定边对直角”问题中,依据“直径所对的圆周角是直角”,关键性在于寻找定边、直角,而根据圆周角定理:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都相等定边必不可少,而直角则一般为定角例如,AB为定值,P为定角,则P点轨迹是一个圆当然,P度数也是特殊角,比如30、45、60、120,下分别作对应的轨迹圆若P=30,以AB为边,同侧构造等边三角形AOB,O即为圆心若P=45,以AB为斜边,同侧构造等腰直角三角形AOB,O即为圆心若P=60,以AB为底,同侧构造顶角为120的等腰三角形AOB,O即为圆心若P=120,以AB为底,异侧为边构造顶角为120【当定边所对定角为的时候,以定边为弦,2为圆心角构造圆】【例4.1】如图,等边ABC边长为2,E、F分别是BC、CA上两个动点,且BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则CP的最小值为 【例4.2】在ABC中,AB=4,C=60,AB,则BC的长的取值范围是 1.如图,ABC为等边三角形,AB=2,若P为ABC内一动点,且满足PAB=ACP,则线段PB长度的最小值为 2.如图,AB是圆O的直径,M、N是弧AB(异于A、B)上两点,C是弧MN上一动点,ACB的角平分线交圆O于点D,BAC的平分线交CD于点E,当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是
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