高考数学二轮复习函数与方程及函数的应用知识点总结Word文档格式.docx

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（2）数学建模：

弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；

（3）解函数模型：

利用数学方法得出函数模型的数学结果；

（4）实际问题作答：

将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

考点一　函数的零点

例1　

（1）（2013·

重庆）若a<

b<

c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　　）

A．（a，b）和（b，c）内B．（－∞，a）和（a，b）内

C．（b，c）和（c，＋∞）内D．（－∞，a）和（c，＋∞）内

（2）函数f（x）＝的零点个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　

（1）A　

（2）D

解析　

（1）由于a<

c，所以f（a）＝0＋（a－b）（a－c）＋0>

0，f（b）＝（b－c）（b－a）<

0，f（c）＝（c－a）（c－b）>

0.因此有f（a）·

0，f（b）·

f（c）<

0，又因f（x）是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f（x）的两零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内，故选A.

（2）依题意，当x>

0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝lnx和y＝x2－2x＝（x－1）2－1的图象，可知它们有两个交点；

当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f（x）有三个零点．

（1）函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；

②零点个数的确定；

③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．

（2）提醒：

函数的零点不是点，是方程f（x）＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标．

（1）（2012·

天津）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,1）内的零点个数是（　　）

（2）已知函数f（x）＝ax＋x－b的零点x0∈（n，n＋1）（n∈Z），其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.

答案　

（1）B　

（2）－1

解析　

（1）先判断函数的单调性，再确定零点．

因为f′（x）＝2xln2＋3x2>

0，

所以函数f（x）＝2x＋x3－2在（0,1）上递增，

且f（0）＝1＋0－2＝－1<

0，f

（1）＝2＋1－2＝1>

所以有1个零点．

（2）f（x）＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．

设y1＝ax，y2＝－x＋b，

故x0就是两函数交点的横坐标，如图，

当x＝－1时，y1＝＝log32<

y2＝1＋b＝1＋log32，

∴－1<

x0<

0，∴n＝－1.

考点二　与函数有关的自定义问题

例2　若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x＋λ）＋λf（x）＝0对任意实数都成立，则称f（x）是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：

①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；

②f（x）＝x是“λ－伴随函数”；

③f（x）＝x2是“λ－伴随函数”；

④“－伴随函数”至少有一个零点．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．

答案　A

解析　对于①，若f（x）＝c≠0，取λ＝－1，

则f（x－1）－f（x）＝c－c＝0，

即f（x）＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．

对于②，若f（x）＝x是一个“λ－伴随函数”，

则（x＋λ）＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．

对于③，若f（x）＝x2是一个“λ－伴随函数”，

则（x＋λ）2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．

对于④，若f（x）是“－伴随函数”，

则f（x＋）＋f（x）＝0，取x＝0，

则f（）＋f（0）＝0，

若f（0），f（）任意一个为0，函数f（x）有零点；

若f（0），f（）均不为0，

则f（0），f（）异号，由零点存在性定理，

知f（x）在（0，）内存在零点x0，

所以④正确．故选A.

函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f（x＋λ）＋λf（x）＝0对任意实数都成立．

若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：

①P，Q都在函数f（x）的图象上；

②P，Q关于y轴对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的图象上的一个“镜像点对”（点对（P，Q）与点对（Q，P）看作同一个“镜像点对”）．

已知函数f（x）＝则f（x）的图象上的“镜像点对”有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

答案　C

解析　依题意，设点P（x0，y0），Q（－x0，y0）（其中x0>

0），

若点对（P，Q）是函数f（x）的图象上的一个“镜像点对”，

则有

所以log3x0＝cosπx0，即x0是方程log3x＝cosπx的根．

在同一个直角坐标系中画出函数y＝log3x与y＝cosπx的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f（x）的图象的“镜像点对”共有3对．故选C.

考点三　函数模型及其应用

例3　省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）＝|－a|＋2a＋，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．

（1）令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

（1）分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．

（2）利用换元法把函数f（x）转化成g（t）＝|t－a|＋2a＋，再把函数g（t）写成分段函数后求M（a）．

解　

（1）当x＝0时，t＝0；

当0<

x≤24时，x＋≥2（当x＝1时取等号），

∴t＝＝∈（0，]，即t的取值范围是[0，]．

（2）当a∈[0，]时，记g（t）＝|t－a|＋2a＋，

则g（t）＝

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，]上单调递增，

且g（0）＝3a＋，g（）＝a＋，

g（0）－g（）＝2（a－）．

故M（a）＝

即M（a）＝

当0≤a≤时，M（a）＝a＋<

2显然成立；

由得<

a≤，

∴当且仅当0≤a≤时，M（a）≤2.

故当0≤a≤时不超标，当<

a≤时超标．

（1）解答函数应用题的关键

将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：

一次或二次函数模型；

分式函数模型；

指数式函数模型等．

（2）对函数模型求最值的常用方法

单调性法、基本不等式法及导数法．

（3）本题中的函数与方程思想：

①在求t的范围时，把t看作是x的函数，在求M（a）时，把综合放射性污染指数看作是t的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．

某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y＝mf（x），其中f（x）＝当药剂在水中的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；

当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．

（1）如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？

（2）如果投放药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．

解　

（1）由题意，得当药剂质量m＝4时，

y＝

x≤4时＋8≥4，显然符合题意．

当x>

4时≥4，解得4<

x≤16.

综上0<

所以自来水达到有效净化一共可持续16天．

（2）由y＝m·

f（x）＝得

x≤4时，y＝＋2m在区间（0,4]上单调递增，即2m<

y≤3m；

4时，y′＝<

∴函数在区间（4,7]上单调递减，即≤y<

3m，

综上知，≤y≤3m，

为使4≤y≤10恒成立，只要≥4且3m≤10即可，

即≤m≤.

所以应该投放的药剂量m的最小值为.

1．函数与方程

（1）函数f（x）有零点⇔方程f（x）＝0有根⇔函数f（x）的图象与x轴有交点．

（2）函数f（x）的零点存在性定理

如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f（a）·

0，那么，函数f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使f（c）＝0.

①如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f（x）在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f（a）·

0时，函数f（x）在区间（a，b）内有唯一的零点，即存在唯一的c∈（a，b），使f（c）＝0.

②如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f（a）·

f（b）>

0，那么，函数f（x）在区间（a，b）内不一定没有零点．

③如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f（x）在区间（a，b）内有零点时不一定有f（a）·

0，也可能有f（a）·

0.

2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．

3．应用函数模型解决实际问题的一般程序

⇒⇒⇒

与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．

1．已知函数f（x）＝（）x－log2x，实数a，b，c满足f（a）·

f（b）·

0（0<

a<

c），若实数x0为方程f（x）＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（　　）

A．x0<

bB．x0>