高考数学三轮讲练测核心热点总动员江苏版 专题22 参数方程和极坐标方程含答案解析.docx

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高考数学三轮讲练测核心热点总动员江苏版专题22参数方程和极坐标方程含答案解析

高考三轮复习系列：

讲练测之核心热点【江苏版】

热点二十二参数方程和极坐标方程

【名师精讲指南篇】

【高考真题再现】

例1【2013江苏高考】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为

，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.

因为直线的参数方程为，（为参数），由，得代入

得到直线的普通方程为.

同理求得曲线的普通方程为.

联立方程组，解得公共点的坐标为，.

例2【2014江苏高考】

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.

【答案】

【解析】直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.

例3【2015江苏高考】已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.

【答案】

【解析】先根据将圆C的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径.

【热点深度剖析】

1.江苏高考中，本知识点考查的主要内容有：

极坐标与参数方程的基本概念、公式的理解与掌握.特别是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.

2.重点掌握将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，体会参数思想和数形结合思想的应用，明确解析几何的精髓.

3.预计16年极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化是考查重点内容.

【最新考纲解读】

内容

要求

备注

A　　

B　　

C　　

坐标系与参数方程　　

坐标系的有关概念　　

√　　

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.

了解：

要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.

理解：

要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.

掌握：

要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

简单图形的极坐标方程　　

√　　

极坐标方程与直角坐标方程的互化　　

√　　

参数方程　　

√　　

直线、圆及椭圆的参数方程　　

√　　

参数方程与普通方程的互化　　

√　　

参数方程的简单应用

√　　

【重点知识整合】

1.平面直角坐标系中的伸缩变换：

2.极坐标系

（1）极坐标系的概念：

平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

（2）直角坐标与极坐标的互化：

把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,则极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点

直角坐标

极坐标

互化公式

（3）常见曲线的极坐标方程：

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

过极点,倾斜角为的直线

（1）

（2）

过点,与极轴垂直的直线

过点,与极轴平行的直线

3、参数方程

（1）参数方程的概念：

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

（2）参数方程和普通方程的互化：

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.

（3）常见曲线的参数方程：

①圆的参数方程为（为参数）；

②椭圆的参数方程为（为参数）；

③双曲线的参数方程（为参数）；

④抛物线参数方程为参数）；

⑤过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）。

【应试技巧点拨】

1、极坐标方程与直角坐标方程的互化方法

若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴正半轴重合，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化，极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造的形式，其中方程两边同乘以或同时平方是常用的变形方法，要注意变形的等价性。

2、参数方程与普通方程的互化方法

①将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：

代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等；②将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．

3、利用参数方程解决问题的方法

①过定点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线参数方程的标准式为（t为参数），t的几何意义是直线上的点P到点P0（x0，y0）的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为（t1＋t2）．

②对于形如（t为参数），当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．

③解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．

【考场经验分享】

1.目标要求：

极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.

2.注意问题：

将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．利用直线参数方程t的几何意义解题先化为标准形式后才能利用．

3.经验分享：

点到直线距离公式，椭圆参数方程是常用知识点

【名题精选练兵篇】

1.【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】选修4—4：

坐标系与参数方程

已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为（θ为参数），设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

【答案】5．

2.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修4—4：

坐标系与参数方程）

在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为，

试判断点和圆的位置关系

【答案】点在圆外

【解析】

试题分析：

先根据将点的极坐标化为直角坐标为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，再根据点A到圆心距离得点在圆外.

试题解析：

解：

点的直角坐标为，………2分

圆的直角坐标方程为，…………6分

则点到圆心的距离，

所以点在圆外.

3.【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】选修44：

坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标.

【答案】

【解析】

4.【泰州市2016届高三第一次模拟考试】（坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.

【答案】

【解析】

试题分析：

利用加减消元得直线普通方程：

，利用平方关系消参数得椭圆普通方程，得准线：

，因此，即

试题解析：

解：

直线：

，

椭圆:

，…………………………5分

准线：

由得，…………………………10分

5.【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】（选修4—4：

坐标系与参数方程）（本小题满分10分）

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．

【答案】.

6.【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值.

【答案】

【解析】

7.【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015一模】选修4-4:

坐标系与参数方程（本小题满分10分）

己知直线的参数方程为（t为参数）,圆C的参数方程为.（a>0.为参数），点P是圆C上的任意一点，若点P到直线的距离的最大值为，求a的值。

【答案】

【解析】

试题分析：

利用代入法消去参数，得直线的普通方程为．利用三角函数平方关系消去参数得圆的普通方程为．根据点到直线距离公式得圆的圆心到直线的距离，从而，解得.

试题解析：

因为直线的参数方程为,

消去参数，得直线的普通方程为．……………………………………3分

又因为圆的参数方程为（为参数），

所以圆的普通方程为．………………………………………………6分

因为圆的圆心到直线的距离，……………………………………………8分

故依题意，得，

解得.……………………………………………………………………………10分

考点：

点到直线距离公式

8.【扬州2015一模】已知曲线C1的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为，求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标

【答案】

试题解析：

由，得曲线的直角坐标系的方程为,……3分

由，得曲线的普通方程为,……7分

由，得，即（舍去）或，

所以曲线与曲线交点的直角坐标为．……10分

考点：

极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程

9.【南京盐城2015一模】（选修4-4：

坐标系与参数方程）（本题满分10分）

在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离.

【答案】

考点：

极坐标化直角坐标，点到直线距离公式

10.【镇江2015一模】（选修4-4：

坐标系与参数方程）

已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为为参数）.

（1）请分别把直线和圆的方程化为直角坐标方程；

（2）求直线被圆截得的弦长.

【答案】

（1）

（2）16

【解析】

试题分析：

（1）利用化简得，利用消参数得

（2）利用点到直线距离得所以直线被圆截得的弦长

试题解析：

（1）由，得

，即.……4分

圆的方程为.……6分

（2），

弦长.……10分

考点：

极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，点到直线距离

11.【泰州2015一模】（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与圆相交于两点，求弦的长．

【答案】

【解析】

考点：

极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线与圆位置关系

12.【苏州2015一模】选修4-4：

坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数a的值.

【答案】

【解析】

试题分析：

由化圆与直线为直角坐标方程和2x4ya0，再根据圆与直线相切，得圆心到切线距离为半径：

，解得：

试题解析：

23cos，圆3cos的普通方程为：

x2y23x,即，………………………3分

直线2cos4sina0的普通方程为：

2x4ya0，…………………6分

又圆与直线相切，所以解得：

……