人教版高中数学必修三 专题复习算法案例文档格式.docx
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否则转向第②步继续循环执行。
如此循环,直到得到结果为止。
(4)更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。
在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤:
可半者半之,不可半者,副置分母•子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
步骤:
Ⅰ.任意给出两个正数;
判断它们是否都是偶数。
若是,用2约简;
若不是,执行第二步。
Ⅱ.以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。
继续这操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
2.秦九韶算法
秦九韶算法的一般规则:
秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。
用秦九韶算法求一般多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值,可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题,即求
v0=an
v1=anx+an-1
v2=v1x+an-2
v3=v2x+an-3
……..
vn=vn-1x+a0
观察秦九韶算法的数学模型,计算vk时要用到vk-1的值,若令v0=an。
我们可以得到下面的递推公式:
vk=vk-1+an-k(k=1,2,…n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,可以用循环结构来实现。
3.排序
排序的算法很多,课本主要介绍里两种排序方法:
直接插入排序和冒泡排序
(1)直接插入排序
在日常生活中,经常碰到这样一类排序问题:
把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。
例如:
一组从小到大排好顺序的数据列{1,3,5,7,9,11,13},通常称之为有序列,我们用序号1,2,3,……表示数据的位置,欲把一个新的数据8插入到上述序列中。
完成这个工作要考虑两个问题:
(1)确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。
数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据,大于其左边位置上所有的数据。
(2)将这个位置空出来,将数据“8”插进去。
对于一列无序的数据列,例如:
{49,38,65,97,76,13,27,49},如何使用这种方法进行排序呢?
基本思想很简单,即反复使用上述方法排序,由序列的长度不断增加,一直到完成整个无序列就有序了。
首先,{49}是有序列,我们将38插入到有序列{49}中,得到两个数据的有序列:
{38,49},
然后,将第三个数据65插入到上述序列中,得到有序列:
{38,49,65}
…………
按照这种方法,直到将最后一个数据65插入到上述有序列中,得到
{13,27,38,49,49,65,76,97}
这样,就完成了整个数据列的排序工作。
注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台。
(2)冒泡法排序
所谓冒泡法排序,形象地说,就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时,小的数据视为质量轻的,大的数据视为质量沉的。
一个小的数据就好比水中的气泡,往上移动,一个较大的数据就好比石头,往下移动。
显然最终会沉到水底,最轻的会浮到顶,反复进行,直到数据列排成为有序列。
以上过程反映了这种排序方法的基本思路。
我们先对一组数据进行分析。
设待排序的数据为:
{49,38,65,97,76,13,27,49}
排序的具体操作步骤如下:
1.将第1个数与右边相邻的数38进行比较,因为38<
49,49应下沉,即向右移动,所以交换他们的位置,得到新的数据列:
{38,49,65,97,76,13,27,49}
2.将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较,因为65>
49,所以顺序不变,得到新的数据列:
3.将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较,因为97>
65,所以顺序不变,得到新的数据列:
4.将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较,因为76<
97,97应下沉,所以顺序不变,得到新的数据列:
{38,49,65,76,97,13,27,49}
5.将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较,因为13<
97,97应下沉,所以顺序改变,得到新的数据列:
{38,49,65,76,13,97,27,49}
6.将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较,因为27<
7.将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较,因为49<
{38,49,65,76,13,97,49,27}
我们把上述过程称为一趟排序。
其基本特征是最大的数据沉到底,即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。
反复执行上面的步骤,就能完成排序工作,排序过程不会超过7趟。
这种排序的方法称为冒泡排序。
上面的分析具有一般性,如果数据列有n个数据组成,至多经过n-1趟排序,就能完成整个排序过程。
4.进位制
(1)概念
进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。
现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。
对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。
比如:
十进数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。
一般地,若k是一个大于一的整数,那么以k为基数的k进制可以表示为:
,
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。
(2)进位制间的转换
关于进位制的转换,教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解,并推广到十进制和其它进制之间的转换。
这样做的原因是,计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据,因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结果为二进制数,同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。
非十进制数转换为十进制数比较简单,只要计算下面的式子值即可:
第一步:
从左到右依次取出k进制数各位上的数字,乘以相应的k的幂,k的幂从n开始取值,每次递减1,递减到0,即;
第二步:
把所得到的乘积加起来,所得的结果就是相应的十进制数。
十进制数转换成非十进制数
把十进制数转换为二进制数,教科书上提供了“除2取余法”,我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。
非十进制之间的转换
一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。
教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法,也就是先有二进制数转化为十进制数,再由十进制数转化成为16进制数。
四.典例解析
题型1:
求最大公约数
例1.
(1)用辗转相除法求123和48的最大公约数?
(2)用更相减损来求80和36的最大公约数?
解析:
(1)辗转相除法求最大公约数的过程如下:
(建立带余除式)
123=2×
48+27
48=1×
27+21
27=1×
21+6
21=3×
6+3
6=2×
3+0
最后6能被3整除,得123和48的最大公约数为3。
(2)分析:
我们将80作为大数,36作为小数,执行更相减损术来求两数的最大公约数。
执行结束的准则是减数和差相等。
更相减损术:
因为80和36都是偶数,要去公因数2。
80÷
2=40,36÷
2=18;
40和18都是偶数,要去公因数2。
40÷
2=20,18÷
2=9
下面来求20与9的最大公约数,
20-9=11
11-9=2
9-2=7
7-2=5
5-2=3
3-2=1
2-1=1
可得80和36的最大公约数为22×
1=4。
点评:
对比两种方法控制好算法的结束,辗转相除法是到达余数为0,更相减损术是到达减数和差相等。
例2.设计一个算法,求出840与1764的最大公因数。
我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法,下面的算法就是在此基础上设计的。
解题思路如下:
首先对两个数进行素因数分解:
840=23×
3×
5×
7,1764=22×
32×
72,
其次,确定两个数的公共素因数:
2,3,7。
接着确定公共素因数的指数:
对于公共素因数2,840中为23,1764中为22,应取较少的一个22,同理可得下面的因数为3和7。
算法步骤:
将840进行素数分解23×
7;
将1764进行素数分解22×
72;
第三步:
确定它们的公共素因数:
2,3,7;
第四步:
确定公共素因数2,3,7的指数分别是:
2,1,1;
第五步:
最大公因数为22×
31×
71=84。
质数是除1以外只能被1和本身整除的正整数,它应该是无限多个,但是目前没有一个规律来确定所有的质数。
题型2:
秦九韶算法
例3.山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试
右面的程序框图中,输出的数是()
A.2450
B.2550
C.5050
D.4900
2、2008年电白四中高三级2月测试卷
如图给出的算法流程图中,输出的结果s=().
A.19
B.25
C.23
D.21
3、广东省梅州揭阳两市四校2008届高三第三次联考数学理科试卷
如果执行下面的程序框图,那么输出的().
A.2450B.2500C.2550D.2652
0
4、山东省潍坊市2008年高三教学质量检测
如图所示的程序框图输出的结果是()
A.
B.
C.
D.
直接法乘法运算的次数最多可到达,加法最多n次。
秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次,加法最多n次。
例4.已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,求当x=5时的函数的值。
把多项式变形为:
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
计算的过程可以列表表示为:
多项式x系数
2
-5
-4
3
-6
7
运算
运算所得的值
10
25
105
540
2670
+