届人教B版理科数学41 平面向量的概念及线性运算单元测试Word文档格式.docx
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=-y+(1+y),
∵=3,
点O在线段CD上(与点C、D不重合),
∴y∈,
∵=x+(1-x),
∴x∈,
故选D.
3.(2018·
湖北模拟)若M为△ABC内一点,=+,则△ABM和△ABC的面积之比为( )
A.B.C.D.
解析 设=,=,以AD,AE为邻边作平行四边形ADME,延长EM交BC与F,连接BM,则EF∥AB,
∴==.故选A.
4.(2014·
全国卷Ⅰ)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________.
答案 90°
解析 由=可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°
,所以与的夹角为90°
.
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一、选择题
1.(2018·
武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=( )
A.
B.
C.
D.
解析 在方格纸上作出+,如图所示,则容易看出+=,故选D.
2.已知A,B,C三点不共线,且点O满足++=0,则下列结论正确的是( )
A.=+B.=+
C.=-D.=--
解析 ∵++=0,∴O为△ABC的重心,∴=-×
(+)=-(+)=-(++)=-(2+)=--.故选D.
3.(2017·
衡水中三调)在△ABC中,=,P是直线BN上的一点,且满足=m+,则实数m的值为( )
A.-4B.-1C.1D.4
答案 B
解析 根据题意设=n(n∈R),则=+=+n=+n(-)=+n=(1-n)+,又=m+,
∴解得故选B.
4.(2018·
石家庄一模)A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合),若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,D.(-1,0)
解析 设=m,则m>
1,因为=λ+μ,
所以m=λ+μ,即=+,又知A,B,D三点共线,所以+=1,即λ+μ=m,所以λ+μ>
1,故选B.
5.(2018·
广东模拟)已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且=,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
解析 ==-=+(-)=+,即-==,所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.
6.(2017·
广东七校联考)已知向量i,j不共线,且=i+mj,=ni+j,m≠1,若A,B,D三点共线,则实数m,n应满足的条件是( )
A.m+n=1B.m+n=-1
C.mn=1D.mn=-1
答案 C
解析 因为A,B,D三点共线,所以∥,存在非零实数λ,使得=λ,即i+mj=λ(ni+j),所以(1-λn)i+(m-λ)j=0,又因为i与j不共线,所以则mn=1,故选C.
7.下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a,b,均有:
|a|-|b|<
|a|+|b|;
②对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;
③在△ABC中,+-=0;
④在四边形ABCD中,(+)-(+)=0;
⑤-=.
A.①②③B.②④⑤C.②③④D.②③
解析 ①假命题.∵当b=0时,|a|-|b|=|a|+|b|.
∴①不成立.
②真命题.∵(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0,
∴a-b与b-a是相反向量.②成立.
③真命题.∵+-=-=0,∴③成立.
④假命题.∵+=,+=,
∴(+)-(+)=-=+≠0.
∴该命题不成立.
⑤假命题.∵-=+=≠,∴该命题不成立.故选D.
8.(2018·
泉州模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:
①=a-b;
②=a+b;
③=-a+b;
④++=0.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.③④D.②③④
解析 由=a,=b,则=+=-a-b.=+=a+b,
=(+)=(-a+b)=-a+b.
所以++=-b-a+a+b+b-a=0,所以命题②③④正确.故选D.
9.(2018·
兰州模拟)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为( )
解析 如图,连接AM,BM,延长AC到D使AD=3AC,延长AM到E使AE=5AM,因为5=+3,所以=5-3=-=.
连接BE,则四边形ABED是平行四边形(向量AB和向量DE平行且模相等).
由于=3,所以S△ABC=S△ABD.
因为=,所以S△AMB=S△ABE,在平行四边形ABED中,S△ABD=S△ABE=S▱ABED,
故==.故选C.
10.(2018·
伊宁市模拟)若O为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,则S△OBC∶S△AOC∶S△ABO=( )
A.3∶2∶1B.2∶1∶3C.1∶3∶2D.1∶2∶3
解析 如图所示,延长OB到D,使得BD=OB,延长OC到E,使得CE=2OC.连接AD,DE,AE.
∵+2+3=0,
∴点O为△ADE的重心.
∴S△OBC=S△ODE=×
S△ADE=S△ADE;
S△AOC=S△OAE=×
S△ABO=S△OAD=×
S△ADE=S△ADE.
∴S△OBC∶S△AOC∶S△ABO=∶∶=1∶2∶3.
二、填空题
11.(2018·
广西模拟)如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.
答案
解析 注意到N,P,B三点共线,因此有=m+=m+,从而m+=1⇒m=.
12.已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,tb,(a+b)三向量的终点在同一直线上,则t=________.
解析 ∵a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上,且a与b起点相同.∴a-tb与a-(a+b)共线,即a-tb与a-b共线,∴存在实数λ,使a-tb=
λ,∴解得λ=,t=,所以若a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上,则t=.
13.(2018·
河北衡水中三调)如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°
,与的夹角为30°
,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.
答案 6
解析 如图,作平行四边形OB1CA1,则=+,因为与的夹角为120°
,所以∠B1OC=90°
在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°
,|OC|=2,
所以|OB1|=2,|B1C|=4,
所以|OA1|=|B1C|=4,所以=4+2,所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
14.(2018·
沈阳模拟)如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.
答案 2
解析 连接AO,∵O是BC的中点,
∴=(+).
又∵=m,=n,∴=+.
∵M,O,N三点共线,∴+=1.∴m+n=2.
三、解答题
15.设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:
A,B,D三点共线;
(2)试确定实数,使a+b和a+b共线.
解
(1)证明:
∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,∴,共线.
又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)∵a+b与a+b共线,
∴存在实数λ,使a+b=λ(a+b),
即a+b=λa+λb.∴(-λ)a=(λ-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
∴-λ=λ-1=0,∴2-1=0,∴=±
1.
16.如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.
解 设=ma+nb,
则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.
又∵A,M,D三点共线,∴与共线.
∴存在实数t,使得=t,
即(m-1)a+nb=t.
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
∴消去t,得m-1=-2n,即m+2n=1.①
又∵=-=ma+nb-a=a+nb,
=-=b-a=-a+b.
又∵C,M,B三点共线,∴与共线,
∴存在实数t1,使得=t1,
∴a+nb=t1,
∴
消去t1,得4m+n=1.②
由①②得m=,n=,∴=a+b.