完整版椭圆不错的习题练习+详细答案Word文件下载.docx
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椭圆的右准线方程为.
∵
3.设F1、F2分别是椭圆（a>
0）的左、右两个焦点,若在其右准线上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则该椭圆的离心率的取值范围是（）
A.B.C.D.
如图,设右准线与x轴的交点为H,则|PF2|≥|HF2|.
又∵|F1F2|=|PF2|,
∴|F1F2|≥|HF2|,
即2c≥.
∴3c2≥a2.∴e2≥,即e≥.
又∵e<
1,∴e∈［）.
D
4.设点P（-3,1）在椭圆（a>
0）的左准线上,过点P且方向为a=（2,-5）的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（）
入射光线所在直线的方程为y-1=（x+3）,它与直线y=-2的交点为.
又反射光线过点（-c,0）,
∴.
又,
A
5.设椭圆（a>
0）与x轴正半轴的交点为A,和y轴正半轴的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB的面积最大值为（）
A.abB.C.abD.2ab
设P（acosθ,bsinθ）,则S四边形
OAPB=S△OAP+S△OBP=.
∵sinθ+cosθ=sin（θ+）≤,
∴S四边形OAPB≤ab.
设点P（x,y）,则S四边形OAPB=S△AOP+S△BOP=
由不等式性质:
a>
0,b>
0时,
方法三:
如图,直线AB的方程为S四边形OAPB=S△AOB+S△APB=+S△APB.
设点P到直线AB的距离为d,则S△APB=,
由题意,知过点P的直线与椭圆相切且和直线AB平行时d有最大值,∴可设过点P且与AB平行的直线为.
联立方程组
得2b2x2-2mabx+a2（m2-b2）=0,
Δ=（-2mab）2-8a2b2（m2-b2）=0,
解得.
由两平行线间的距离公式,得S△APB最大值=,
∴S四边形OAPB最大值=.
B
6.设直线l:
2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′,若l′与椭圆交于A、B两点,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为的点P的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
可求出直线l′:
2x+y-2=0.
由方程组解得x=0或x=1.
∴A（0,2）,B（1,0）,|AB|=.
∴点P到AB的距离为.
由AB所在的直线方程为y=-2x+2,设P（x0,y0）,
则
解之有两组解.
故存在两个不同的P点满足题意.
7.椭圆（φ为参数）的离心率为（）
A.B.
C.D.
将椭圆的参数方程化为普通方程,
得即.
∴a2=9,b2=4,即a=3,b=2.
∴c2=a2-b2=5,c=.
8.设e为椭圆的离心率,且e∈（）,则实数m的取值范围为（）
A.（-1,0）B.（-2,-1）
C.（-1,1）D.（-2,）
∵椭圆方程为,
∵m>
-2且-m>
0,
∴0<
-m<
2.
∴a2=2,b2=-m,即
∴c2=a2-b2=2+m,,.解得m∈（-1,0）.
9.若AB为过椭圆中心的弦,F1为椭圆的右焦点,则△F1AB面积的最大值为（）
A.6B.12C.24D.48
由已知得F1为（3,0）,则△F1AB可看成由△OBF1和△OAF1组成.
设A（x0,y0）,则B（-x0,-y0）.
∴
=
=.
由椭圆的定义,知|y0|≤b=4,
10.已知椭圆,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A、B两点,交y轴于P点,设=λ1,=λ2,则λ1+λ2的值为（）
设直线AB的方程为y=k（x-c）,则
∴,
∵∴λ1+λ2=.
二、填空题
11.已知椭圆的离心率,则m的值为___________.
分两种情况.
焦点在x轴上时,0<
m<
5,
∴,解得m=3;
焦点在y轴上时,m>
∴解得.
3或
12.（理）在△ABC中,AB=BC,cosB=.若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=____________.
∵以A、B为焦点的椭圆经过点C,
∵AB=BC,∴.
∴，解得.
（文）在△ABC中,∠A=90°
tanB=.若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________.
设|AC|=3x,|AB|=4x,
又∵∠A=90°
∴|BC|=5x.
由椭圆定义知|AC|+|BC|=2a=8x,
那么2c=|AB|=4x,
13.已知A、B为椭圆C:
的长轴的两个端点,P是椭圆C上的动点,且∠APB的最大值是,则实数m的值是______________.
由椭圆知识,知当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值,根据题意则有
14.椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点.当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是__________.
若∠F1PF2=90°
设P（x,y）,则由椭圆方程得a=3,b=2,.
∴F1（,0）,F2（,0）.
∴.①
又.②
解①②得x=±
.
结合椭圆图形可得,当∠F1PF2为钝角时,.
答案：
三、解答题
15.椭圆中心在原点O,它的短轴长为22,对应于焦点F（c,0）（c>
0）的准线l与x轴相交于点A,且｜OF｜=2｜FA｜,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率;
（2）设=0,求直线PQ的方程.
解:
（1）由题意,设椭圆的方程为.
由已知,得
解得a=,c=2.
∴椭圆的方程为,离心率.
（2）由
（1）知A（3,0）,设直线PQ的方程为y=k（x-3）,
由方程组得（3k2+1）x2-18k2x+27k2-6=0.
依题意Δ=12（2-3k2）>
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
x1+x2=,
由直线PQ的方程,得
y1y2=k（x1-3）·
k（x2-3）
=k2［x1x2-3（x1+x2）+9］.
∵=0,
∴x1x2+y1y2=0.
整理得5k2=1,
∴直线PQ的方程为（x-3）,
即或.
16.（理）已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
（1）当直线BD过点（0,1）时,求直线AC的方程;
（2）当∠ABC=60°
时,求菱形ABCD面积的最大值.
（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
设直线AC的方程为y=-x+n.
由得4x2-6nx+3n2-4=0.
∵A,C在椭圆上,
∴Δ=-12n2+64>
0,解得.
设A（x1,y1）,C（x2,y2）,则x1+x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n.
∴y1+y2=,AC的中点坐标为.
由四边形ABCD为菱形可知,点在直线y=x+1上.
∴,解得n=-2.
∴直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
（2）∵四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°
∴|AB|=|BC|=|CA|.
∴S菱形ABCD=.
由
（1）知|AC|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=
∴S菱形ABCD=
∴当n=0时,S菱形ABCD取得最大值.
（文）已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:
y=x+2上,且AB∥l.
（1）当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
（2）当∠ABC=90°
且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
（1）因为AB∥l,且AB边通过点（0,0）,
所以AB所在直线的方程为y=x.
设A,B两点坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.
由得x=±
1.
所以|AB|=|x1-x2|=.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,
所以h=,S△ABC=.
（2）设AB所在直线的方程为y=x+m.
由得4x2+6mx+3m2-4=0.
因为A,B在椭圆上,
所以Δ=-12m2+64>
0.
设A,B两点坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,
则.
又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离,即|BC|=,
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11.
所以当m=-1时,AC边最长.（这时Δ=-12+64>
0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1.
【例1】已知椭圆M的两焦点坐标分别为F1（-1,0）,F2（1,0）,离心率,P是椭圆M上的动点.
（1）求椭圆M的方程;
（2）设=m,求m的取值范围.
（3）求的取值范围.
（1）由已知得c=1,,∴a=2,b=,
即椭圆M的方程为.
（2）设P点的坐标为（x0,y0）,则x0∈［-2,2］,又=e（x0+）=a+ex0,
∴m==2ex0=x0∈［-2,2］.
（3）∵=m,
=4,
∴=,=.
cos〈,〉
又m∈［-2,2］,∴∈［2,3］.
【例2】已知椭圆（a>
0）,长轴两端点为A、B,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB=120°
求这个椭圆的离心率的范围.
如图,根据椭圆的对称性,不妨设Q在x轴上方,设Q点坐标为（x0,y0）,直线QA、QB的斜率分别为k1、k2.
又A（-a,0）、B（a,0）,由于直线QA到直线QB的角是120°
整理得.①
∵点Q在椭圆上,∴,
即,代入①得.
∵0<
y0≤b,∴0<
即.
∴3c4≥4a2（a2-c2）,即3c4+4a2c2-4a4≥0.
故3e4+4e2-4≥0,∴.
又e<
1,∴.
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