六年级下册奥数专题练习数的整除性规律全国通用.docx

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六年级下册奥数专题练习数的整除性规律全国通用

数的整除性规律

　　【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）

　　【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。

　　例如，1248621各位上的数字之和是

　　1+2+4+8+6+2+1=24

　　3｜24，则3｜1248621。

　　又如，372681各位上的数字之和是

　　3+7+2+6+8+1=27

　　9｜27，则9｜372681。

　　【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。

　　例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。

　　43586775的末两位数为75，25｜75，则25｜

　　43586775。

【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。

　　例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。

　　3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。

　　214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750。

【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

　　例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即

　　7｜448，则7｜75523。

　　又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即

　　13｜221，则13｜1095874。

　　再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即

　　11｜99，则11｜868967。

　　此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：

　　一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。

　　例如，4239235的奇数位上的数字之和为

　　4+3+2+5=14，

　　偶数位上数字之和为2+9+3=14，

　　二者之差为14-14=0，0÷11=0，

　　即11｜0，则11｜4239235。

26、数的公理、定理或性质

　　【小数性质】小数的性质有以下两条：

（1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。

（2）把小数点向右移动n位，小数就扩大10n倍；把小数点向左移动n位，小数就缩小10n倍。

　　【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，分数的大小不变。

即

　　【去九数的性质】用9去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去九数”，或者叫做“9余数”。

求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把该数的各位数字加起来，再减去9的倍数，就得到该数的“去九数”。

（求法见本书第一部分“（四）法则、方法”“2．运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。

）去九数有两条重要的性质：

（1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。

（2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。

　　这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。

　　【自然数平方的性质】

（1）奇数平方的性质。

任何一个奇数的平方被8除余1。

　　为什么有这一性质呢？

这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式，k为整数。

而

　　（2k+1）2=4k2+4k+1

　　=4k（k+1）+1

　　k与k+1又是连续整数，其中必有一个是偶数，故4k（k+1）是8的倍数，能被8整除，所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）2能被8除余1，也就是任何一个奇数的平方被8除余1。

　　例如，272=729

　　729÷8=91……1

（2）偶数平方的性质。

任何一个偶数的平方，都是4的倍数。

　　这是因为偶数可以用2k（k为整数）表示，而（2k）2＝4k2

　　显然，4k2是4的倍数，即偶数的平方为4的倍数。

　　例如，2162=46656

　　46656÷4=11664

　　即4|46656

　　【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条：

（1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。

（2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。

　　（3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。

　　（4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。

　　由第（4）条性质，还可以推广到:

　　若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。

　　【偶数运算性质】偶数运算性质有：

（1）若干个偶数的和或者差是偶数。

（2）若干个偶数的积是偶数。

　　例如，四个偶数38、126、672和1174的和，是偶数2010；用偶数相减的算式3756-128-294-1350的差，也是偶数1984。

　　【奇数运算性质】奇数运算性质有：

（1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。

（2）若干个奇数的积是奇数。

数的大小概念

　　【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢。

采用下述办法，往往可大大提高解题的速度。

（1）交叉相乘。

把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后

　　2×5＝10，3×3=9，3×8=24，5×5=25，

　　之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积。

这时，分数的大小就只取决于分子的大小了。

（2）用“1”比较。

当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小

　　（4）化相同分子。

把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。

有时

序排列起来：

　　（5）两分数相除。

用两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，往往能快速地找出它们的大小关系。

由于这样做，省略了通分的过程，所以

　　显然，将它们反过来相除，也是可以的：

【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出，比较它们的大小，有一定难度。

这时，可按下面的办法去做：

（1）先看分子是1的情况。

例如下题：

　　第一种方法是直观比较。

先画线段图（图4.4）：

　　由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数。

数。

可知

（2）再看分子不是1的情况。

例如下题：

　　它同样也可以用四种方法比较大小。

比方

　　用直观比较方法，可画线段图如下（图4.5）：

　　由图可知，甲数大于乙数。

　　用统一分子的方法，也可比较它们的大小。

因为

　　用图表示就是图4.6：

　　这就是说，把甲数分为9份，乙数分为8份，它们的6份相等。

所以，它们每一份也相等。

而甲数有9份，乙数只有8份，故甲数大于乙数。

去，即可知道甲数大于乙数。

　　如果用转化关系式比较。

由题意可知

　　根据一个因数等于积除以另一个因数，可得