1、六年级下册奥数专题练习数的整除性规律全国通用数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】(见小学数学课本,此处略)【能被3或9整除的数的特征】一个数,当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时,这个数便能被3或9整除。例如,1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24324,则31248621。又如,372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27927,则9372681。【能被4或25整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末两位数能被4或25整除时,这个数便能被4或25整除。例如,173824的末两位数为24,424,则4173824。43586775的末两位
2、数为75,2575,则2543586775。【能被8或125整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末三位数字为0,或者末三位数能被8或125整除时,这个数便能被8或125整除。例如,32178000的末三位数字为0,则这个数能被8整除,也能够被125整除。3569824的末三位数为824,8824,则83569824。214813750的末三位数为750,125750,则125214813750。【能被7、11、13整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末三位数字所表示的数,与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时,这个数就能被7、11、13整除。例如,75523的末
3、三位数为523,末三位以前的数字所表示的数是75,523-75=448,4487=64,即7448,则775523。又如,1095874的末三位数为874,末三位以前的数字所表示的数是1095,1095-874=221,22113=17,即13221,则131095874。再如,868967的末三位数为967,末三位以前的数字所表示的数是868,967-868=99,9911=9,即1199,则11868967。此外,能被11整除的数的特征,还可以这样叙述:一个数,当且仅当它的奇数位上数字之和,与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时,则这个数便能被11整除。例如,4239235的奇数位
4、上的数字之和为4+3+2+5=14,偶数位上数字之和为2+9+3=14,二者之差为14-14=0,011=0,即110,则114239235。26、数的公理、定理或性质【小数性质】小数的性质有以下两条:(1)在小数的末尾添上或者去掉几个零,小数的大小不变。(2)把小数点向右移动n位,小数就扩大10n倍;把小数点向左移动n位,小数就缩小10n倍。【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数,分数的大小不变。即【去九数的性质】用9去除一个数,求出商后余下的数,叫做这个数的“去九数”,或者叫做“9余数”。求一个数的“去九数”,一般不必去除,只要把该数的各位数字加起来,再减去9的
5、倍数,就得到该数的“去九数”。(求法见本书第一部分“(四)法则、方法”“2运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。)去九数有两条重要的性质:(1)几个加数的和的去九数,等于各个加数的去九数的和的去九数。(2)几个因数的积的去九数,等于各个因数的去九数的积的去九数。这两条重要性质,是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。【自然数平方的性质】(1)奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。为什么有这一性质呢?这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式,k为整数。而(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1k与k+1又是连续整数,其中必有一个是偶数,故4k(k+1)是8的倍数,能被8
6、整除,所以“4k(k+1)+1”,即(2k+1)2能被8除余1,也就是任何一个奇数的平方被8除余1。例如,272=7297298=911(2)偶数平方的性质。任何一个偶数的平方,都是4的倍数。这是因为偶数可以用2k(k为整数)表示,而(2k)24k2显然,4k2是4的倍数,即偶数的平方为4的倍数。例如,2162=46656466564=11664即 4|46656【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条:(1)两个偶数的和或差是偶数;两个奇数的和或差也是偶数。(2)一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。(3)两个奇数之积为奇数;两个偶数之积为偶数。(4)一个奇数与一个偶数之积为偶数。由第(4)
7、条性质,还可以推广到:若干个整数相乘,只要其中有一个整数是偶数,那么它们的积就是个偶数。【偶数运算性质】偶数运算性质有:(1)若干个偶数的和或者差是偶数。(2)若干个偶数的积是偶数。例如,四个偶数38、126、672和1174的和,是偶数2010;用偶数相减的算式3756-128-294-1350的差,也是偶数1984。【奇数运算性质】奇数运算性质有:(1)奇数个奇数的和(差)是奇数;偶数个奇数的和(差)是偶数。(2)若干个奇数的积是奇数。数的大小概念【比较分数大小】用常规方法比较分数大小,有时候速度很慢。采用下述办法,往往可大大提高解题的速度。(1)交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母
8、交叉相乘,然后2510, 33=9, 38=24, 55=25,之所以能这样比较,是由于它们通分时,公分母是分母的乘积。这时,分数的大小就只取决于分子的大小了。(2)用“1”比较。当两个分数都接近1,又不容易确定它们的大小(4)化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时序排列起来:(5)两分数相除。用两个分数相除,看它们的商是大于1还是小于1,往往能快速地找出它们的大小关系。由于这样做,省略了通分的过程,所以显然,将它们反过来相除,也是可以的:【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出,比较它们的大小,有一定难度。这时,可按下面的办法去做:(1)先看分子是1的情况。例如下题:第一种方法是直观比较。先画线段图(图4.4):由对线段图的直观比较可知,乙数大于甲数。数。可知(2)再看分子不是1的情况。例如下题:它同样也可以用四种方法比较大小。比方用直观比较方法,可画线段图如下(图4.5):由图可知,甲数大于乙数。用统一分子的方法,也可比较它们的大小。因为用图表示就是图4.6:这就是说,把甲数分为9份,乙数分为8份,它们的6份相等。所以,它们每一份也相等。而甲数有9份,乙数只有8份,故甲数大于乙数。去,即可知道甲数大于乙数。如果用转化关系式比较。由题意可知根据一个因数等于积除以另一个因数,可得
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