数字信号处理毕业论文docWord文档格式.doc
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使得计算机计算量大，费时，难以达到实时的要求[6]。
因此，一般采用DFT方法，将输入的数字信号首先进行DFT变换，把时域中的卷积和相关运算简化为在频域上的相成处理，然后进行DFT反变换，恢复为时域信号。
这样大大减少计算量，提高处理速度。
最重要的是DFT有多种快速算法，统称为快速傅立叶变换,从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。
所以说，DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中也起核心作用。
离散傅立叶变换（DFT）是复数域的运算，尽管借助于FFT可以提高运算速度，但在实际应用，特别是实时处理中带来了不便。
由于实偶函数的傅立叶变换只含有实的余弦项，因此构造了一种实域的变换---离散余弦变换（DCT）。
离散余弦变换（DCT）是NAhmed等人在1974年提出的正交变换方法[5]。
它是一种正交变换，它类似于离散傅里叶变换（DFT），但是只使用实数。
离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的。
它的思想是将一个实函数对称延拓成一个实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数，连续函数和离散函数（CFT）都是基于这一原理。
在20世纪80年代至90年代初期，人们对DCT快速算法的研究较多，并且取得了巨大的成功。
早在1977年，Chen⋯根据变换矩阵具有对称性，利用稀疏矩阵分解法第一次提出DCT的快速算法。
l984年B．G．Led提出了一种使用余割因子的DCT矩阵分解方法，得到Cooley-Tukey式的简单结构，受到广泛重视。
后来Duhamel将DCT看成是一种基于循环卷积的算法，并证明。
对于一维的8点DCT，其乘法的理论下限值是l1次，C．Loeffler具体实现了这种ll步乘法的算法。
从此以后，一维DCT快速算法的研究进展缓慢。
2000年Trac．D．Trar提出了一种DCT的近似快速算法，在算法中也没有用到乘法，但使用了移位运算。
在国内，赵耀等人也提出了一种“基于矩阵分解的DCT-I算法”[16]，该方法也用到了l2次乘法。
离散余弦变换的提出虽然比快速傅立叶变换（FFT）晚，但其性能更接近于理想的KLT变换，并且由于KLT到目前为止没有发现有效的快速速算法，所以DCT在信号处理中得到了广泛应用[6]。
离散余弦变换（DCT）域是数字信号处理技术中最常用的线性变换之一，和离散傅里叶变换一样，也存在着快速算法。
它的快速算法也是在继承完善DFT的基础上不断进步的。
但由于离散余弦变换（DCT）的变换核为实数的余弦函数，因此它的计算速度比变换核为复数指数的DFT要快。
所以高效快速的离散余弦变换（DCT）得到了广泛应用，并且不断激发人们对其快速算法的研究[7，8，9]。
基于以上研究现状，如何改进DCT的快速算法是本文的研究重点。
本文首先系统阐述了离散傅立叶变换（DFT）的基础理论及其快速算法FFT,然后详细论述了离散余弦变换的基本概念及其二维DCT快速算法的基本理论和实现方法，重点研究了一种改进的离散余弦变换的快速算法，并推导了算法的进行过程。
本文着眼于如何改进离散余弦变换的快速算法，分析了一维8点DCT快速算法的原理和二维8乘8DCT快速算法的理论，推导出了改进的DCT快速算法的基本思路，并将此算法与其它算法做了比较，最后举出具体实例，演绎了算法的进行过程，结果表明该算法的运算量明显减少。
2离散傅立叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）
DFT是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。
它通常用于频谱分析和滤波,它提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤其是DFT的快速算FFT，在许多科学技术领域中得到了广泛的应用，并推动了数字信号处理技术的迅速发展[10]。
2.1离散傅立叶变换（DFT）的定义和DFT性质
在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时，对信号的要求是：
在时域和频域都是离散的，且都应是有限长。
离散傅立叶变换不是一个新的傅立叶变换形式，它实际上来自于DFS，只不过仅在时域，频域各取一个周期，其实质是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样，从而开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，大大增加了数字信号处理的灵活性。
（1）正变换：
（2.1.1）
（2）反变换：
（2.1.2）
离散傅立叶变换适用于有限长序列，和只有N个值，但隐含周期性。
是Z变换在单位圆上等距离的抽样值，，是序列频谱的采样值，。
假定与是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅立叶变换分别为，。
则DFT具有以下性质：
（1）线性，，为任意常数
（2）循环移位
有限长序列的循环移位定义为：
表示的周期延拓序列的移位：
表示对移位的周期序列取主值序列。
所以仍然是一个长度为N的有限长序列。
实际上可看作序列排列在一个N等分圆周上，并向左旋转m位。
序列循环移位后的DFT为：
。
实际上，利用的周期性，将代入DFT定义式，同样很容易证明。
同样，对于频域有限长序列X（k）的循环移位，有如下反变换特性：
（3）循环卷积
若
则
或
同样，若
则
所以，离散时间序列（或离散傅立叶变换）的循环卷积与离散傅立叶变换（或离散时间序列）的乘积相对应。
这就说明循环卷积的运算可利用离散傅立叶变换转换成乘积实现。
（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用）
有限长序列的线性卷积等于循环卷积，而不产生混淆的必要条件是延拓周期L≥N+M-1，其中N、M为两个有限长序列的长度。
（5）奇偶对称特性
时域序列奇对称时，其也奇对称，即若，则。
时域序列偶对称时，其也偶对称，即若，
则。
（6）虚实特性
若，则。
当为纯实数序列时，＝→共轭偶对称。
当为纯虚数序列时，＝→共轭奇对称。
2.2快速傅立叶变换定义和算法思路
自从1965年土基和库利在《计算机数学》（Math.Computation,Vol.19,1965）杂志上发表了著名的《机器计算傅立叶变换的一种算法》论文后，桑德--图基等快速算法相继出现，又经人们改进，很快形成一套高效的运算方法，这就是现在的快速傅立叶变换，简称FFT（FastFourierTransform）。
这种算法使DFT的运算效率提高1~2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件，大大推动了数字信号处理的发展[11]。
快速傅立叶变换（FFT）是离散傅立叶变换DFT（DiscreteFourierTransform）的快速算法，它就是利用的特性，逐步地将N点序列分解成较短的序列，计算短序列的DFT，然后组合成原序列的DFT，使运算量显著减少。
FFT是DFT的快速计算方法，DFT是连续傅立叶变换的离散形式。
=，=0，1，…N-1（2.2.1）
式中，=，称为蝶形因子。
此式实际上就是N点的DFT。
由（2.2.1）式可以看出，计算所有的的运算量很大。
FFT算法利用了蝶形因子内在的性质，从而加快了运算的速度。
的以下三种性质在FFT运算中得到了应用：
性质1：
的周期性=
性质2：
的对称性=
性质3：
的可约性=，=
FFT算法将长序列的DFT分解为短序列的DFT。
N点的DFT先分解为2个点的DFT，每个点的DFT又分解为点的DFT，等等。
最小变换的点数即所谓的“基数（Radix）"
，因此，基数为2的算法的最小变换（或称蝶形）是2点DFT。
一般的，对N点FFT，对应于N个输入样值，有N个频域样值与之对应。
一般而言，FFT算法可以分为时间抽取（DIT）FFT和频率抽取（DIF）FFT两大类。
2.2.1时间抽取（DIT）FFT
时间抽取算法是将N点的输入序列按照偶数和奇数分解为偶序列和奇序列两个序列：
偶序列：
x（0），x
（2），x（4），…，x（N-2）
奇序列：
x
（1），x（3），x（5），…，x（N-1）
因此，的N点FFT可以表示=+（2.2.1.1）
因为===
所以=+，
令，
则有=+（2.2.1.2）
由于和的周期为，因此k=0，1，…，。
由=-可知=-（2.2.1.3）
用（2.2.1.2）,（2.2.1.3）两式分别用来计算和的。
以同样的方式进一步抽取，就可以得到N/4的DFT，重复这个抽取过程，就可以使N点的DFT用一组2点的DFT来计算。
在基数为2的FFT中，设N=，则总共有M级运算，每级中有N/2个2点FFT蝶形运算，因此，N点FFT总共有个蝶形运算。
图2.1时间抽取算法碟形运算图
基2DIT的蝶形如图2.1所示。
设蝶形的输入分别为A和B，输出分别为C和D，则有，
图2.2N=8点DIT-FFT算法流图
2.2.2频率抽取（DIF）FFT
频率抽取FFT算法是在频域里把序列分解为奇、偶的形式来进行计算，频率抽取FFT算法首先将输入序列按照自然顺序分为前半部分和后半部分：
偶序列：
x（0），x
（2），x（4），…，x（）
x
（1），x（3），x（5），…，x（）
因此，的N点FFT可以表示为：
=+=（2.2.1.4）
k为偶数时：
=，k=0，1，…（）
k为奇数时：
=，k=0，1，…（）
因为
令 =，
则有：
＝
以同样的方式，就可以得到N/4点的DFT，重复这个过程，N点的DFT用一组2点的DF
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