秋九年级数学上册第3章图形的相似 6位似第2课时平面直角坐标系中的位似变换作业新版湘教版392Word文档格式.docx

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4．△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，6），在平面直角坐标系中作△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且以原点O为位似中心，位似比为，则△DEF的面积为________．

图K－29－4

5.如图K－29－4，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是________．

三、解答题

6．如图K－29－5，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，－2）．

（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍的图形，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；

（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；

（3）判断△OA1B1与△O2A2B2是不是，若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

图K－29－5

7一题多解如图K－29－6，在6×

6的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形是格点三角形，△ABC是一个格点三角形．

（1）在图①中，请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由；

（2）在图②中，以点O为位似中心，得△ABC放大为原来的2倍；

（3）在图③中，请画出所有与△ABC相似，且有一条公共边和一个公共角的格点三角形．

图K－29－6

1．[解析]B　如图所示，位似中心F的坐标为（2，2），k的值为＝，故选B.

2．[解析]A　以点O为位似中心，把△EFO缩小为原来的，则点E的对应点E′的坐标为[－4×

（－），2×

（－）]或（－4×

，2×

），即（2，－1）或（－2，1），故选A.

3．[答案]4.5

[解析]∵△ABC与△DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），∴AO＝1，DO＝3，

∴＝＝.∵AB＝1.5，∴DE＝4.5.故答案为4.5.

4．[答案]1

[解析]如图所示，△ABC的面积为×

2×

4＝4，∵△DEF与△ABC位似，且以原点O为位似中心，位似比为，∴△DEF与△ABC的面积比为1∶4，则△DEF的面积为1.故答案为1.

5．[答案]（－2，0）

[解析]如图所示，点P（－2，0）为等腰三角形OBA与等腰三角形ACD的位似中心．故答案为（－2，0）．

6．解：

（1）如图所示，A1（4，2），B1（2，－4）．

（2）如图所示，A2（0，2），B2（－1，－1）．

（3）△OA1B1与△O2A2B2是位似图形，如图，位似中心点M的坐标的（－4，2）．

7解：

（1）△ABC与△DEF相似．理由：

∵AB＝1，BC＝，AC＝2；

DE＝，EF＝，DF＝4，

∴＝＝＝＝，∴△ABC与△DEF相似．

（2）如图①所示，△A′B′C′即为所求．

（3）如图②所示，△ADC，△ABF和△CEB即为所求．

本章总结提升

【整合提升】

例1　[解析]D　令＝＝＝k（k≠0），

则a＝2k，b＝3k，c＝4k，

∴＝＝＝.故选D.

例2　[解析]D　∵直线l1∥l2∥l3，

∴＝.

∵AB＝5，BH＝1，CH＝2，

∴BC＝BH＋CH＝3，

∴＝，∴＝.故选D.

例3　[解析]

（1）要证＝，只需证明△EGC∽△ADC；

（2）由

（1）的结论及EG＝AF得＝，可证△ADF∽△CDG，从而得∠ADF＝∠CDG.

解：

（1）证明：

在△EGC和△ADC中，

∵∠EGC＝∠ADC＝90°

，∠C＝∠C，

∴△EGC∽△ADC，∴＝.

（2）FD⊥DG.证明如下：

由题意易知四边形AFEG是矩形，

∴EG＝AF.

∵＝，∴＝，∴＝.

∵∠C＋∠CAD＝∠BAD＋∠CAD＝90°

，

∴∠C＝∠BAD，∴△ADF∽△CDG，

∴∠ADF＝∠CDG.

∵∠ADG＋∠CDG＝90°

∴∠ADF＋∠ADG＝90°

∴∠FDG＝90°

，即FD⊥DG.

例4　[解析]C　∵52＋122＝132，

∴三边长为5，12，13的三角形是直角三角形，面积为×

5×

12＝30.

∵两个三角形的相似比为＝，

∴则两个三角形的面积比为（）2＝，

∴较大的三角形的面积为30×

9＝270.

故选C.

例5　[解析]要求楼高AB，由太阳光所成影子的特点，可通过添加辅助线构造出三角形，加上人和大楼都垂直于地面，可得到相关的三角形相似，从而列式求解．

过点D作DG⊥AB，与EF交于点H，则EH＝AG＝CD＝1.2m，DH＝CE＝0.8m，DG＝CA＝30m，FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5m.

因为EF∥AB，所以△DHF∽△DGB，

所以＝，即＝，

解得BG＝18.75（m），

所以AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95（m）≈20.0（m）．

答：

楼高AB约为20.0m.

例6　解：

（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点M1的坐标为（a－7，b－3）．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（－1，－4）．

【章内专题阅读】

分类思想在相似三角形中的应用举例

江西许生友周水平

数学思想是数学的灵魂，是打开数学学习与研究之门的金钥匙．其中分类思想是数学思想中的一种重要的思想方法，本文举例说明分类思想在相似三角形中的应用．

一、对应边不确定

在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？

[解析]本题是一道动态开放探索性问题，解决这类问题的思路是：

动中求“静”，“一般”中见“特殊”．由于点P，Q在移动过程中的路线都是∠B（即∠ABC或∠PBQ）的两边，所以只需夹∠B的两边对应成比例，则这两个三角形就相似，但没有明确∠B（即∠ABC或∠PBQ）的两边的对应关系，所以存在两种关系：

△PBQ∽△ABC或△QBP∽△ABC.

设经过ts，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10－2t.

（1）当△PBQ∽△ABC时，有＝，即＝，解得t＝2.5.

（2）当△QBP∽△ABC时，有＝，

即＝，解得t＝1.

所以经过1s或2.5s，△PBQ与△ABC相似．

二、对应角不确定

如图，∠A＝50°

，∠B＝60°

，一直线l与△ABC的边AC，AB分别相交于点D，E，当∠ADE为多少度时，△ABC与△ADE相似？

[解析]显然∠C＝70°

，∠A是△ABC和△ADE的公共角，如果∠ADE等于∠C或∠B，那么△ABC与△ADE相似．

（1）当∠ADE＝∠C＝70°

时，△ABC∽△AED.

（2）当∠ADE＝∠B＝60°

时，△ABC∽△ADE.

所以当∠ADE等于70°

或60°

时，△ABC与△ADE相似．

三、图形的位置不确定

如图，直角三角形铁片ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm，在这个三角形铁片中剪出一块正方形铁片，要使剪去正方形铁片后剩下的边角料最少，应如何剪？

[解析]要使剩下的边角料最少，就是要使剪出的正方形铁片面积最大，需要利用相似三角形的性质求出正方形的边长，但剪出正方形的方法有两种，要进行分类讨论．

（1）按图①的剪法，设正方形的边长为xcm，则AD＝（4－x）cm.

因为DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，

所以＝，即＝，解得x＝.

所以正方形DCFE的面积S1＝（）2＝（cm2）．

图①　　　图②

（2）按图②的剪法，设正方形的边长为ycm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，交DE于点M.

因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB，

所以＝.

因为AB＝＝5，

又因为CH·

AB＝BC·

AC，

所以CH＝＝（cm），所以CM＝（－y）cm，

所以＝，解得y＝，

故正方形DEFG的面积S2＝（）2＝（cm2）．

因为>

，所以S1>

S2.

所以采用

（1）的剪法可使正方形的面积最大，即剩下的边角料最少．