高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程成长训练新人教A版选修44.docx
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高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程成长训练新人教A版选修44
二圆锥曲线的参数方程
主动成长
夯基达标
1.参数方程表示的曲线不在（ ）
A.x轴上方
B.x轴下方
C.y轴右方
D.y轴左方
答案:
D
2.直线=1与椭圆=1相交于A、B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于3，这样的点P共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:
设P1（4cosα,3sinα）,α∈（0,）,则
SP1AOB=S△OAP1+S△OBP1
=12×4sinα+12×3×4cosα
=6（sinα+cosα）=6sin（α+）.
当α=时,SP1AOB的最大值为6.
故S△P1AB≤6-S△OAB=6-6＜3.
故AB的上方不存在满足题意的点P.又S△OAB=6＞3,所以AB的下方存在2个点满足要求.
答案:
B
3.椭圆（θ为参数）的左焦点的坐标是（ ）
A.（-7,0）
B.（0,-7）
C.（-5,0）
D.（-4,0）
解析:
椭圆中,a=4,b=3,∴c=7.
答案:
A
4.参数方程（1+sinθ）（0<θ<2π）表示（ ）
A.双曲线的一支,这支过点（1,）
B.抛物线的一部分,这部分过点（1,）
C.双曲线的一支,这支过点（-1,）
D.抛物线的一部分,这部分过点（-1,）
解析:
消去参数θ,得x2=2y.
∵x=|cos+sin|=|2sin（θ+）|,
∵0<θ<2π,∴0≤x≤.
∴参数方程表示抛物线的一部分,这部分过（1,）.
答案:
B
5.已知曲线的参数方程为（t为参数）,点A、B在曲线上对应的参数分别为t1和t2,又t1+t2=0,则|AB|等于（ ）
A.2p（t1-t2）
B.2p（t12+t22）
C.2p|t1-t2|
D.2p（t1-t2）2
解析:
由x1=2pt12,x2=2pt22,
∴x1-x2=2p（t12-t22）=2p（t1+t2）（t1-t2）=0.
则有|AB|=|y2-y1|,
又∵y1=2pt1,y2=2pt2,
∴|y2-y1|=2p|t2-t1|.
答案:
C
6.点P（x,y）在椭圆+（y-1）2=1上,则x+y的最大值是（ ）
A.3+5
B.5+5
C.5
D.6
解析:
由于点P（x,y）在椭圆+（y-1）2=1上,有
（φ为参数）.
∴x+y=3+2cosφ+sinφ.
由三角函数性质知x+y的最大值为3+.
答案:
A
7.参数方程（θ为参数）表示的曲线为（ ）
解析:
由x=sinθ+cosθ两边平方,得
x2=1+2sinθcosθ=1+2y.
∴y=x2-.
且x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈［-,］.
答案:
C
8.在椭圆+y2=1上求一点P,使点P到直线x-y+4=0的距离最小.
解:
∵点P在椭圆+y2=1上,可设P（2cosφ,sinφ）,则有
d=d=
当θ-φ=时,d最小=
∴P（）.
9.设P（x,y）是椭圆2x2+3y2=12上的一动点,求x+2y的取值范围.
解:
由2x2+3y2=12,∴=1.
∴（θ为参数）.
∴x+2y=cosθ+4sinθ=sin（θ+φ）,θ为实数,φ为辅助角.
∴x+2y∈［-,］.
10.设直线l:
x+2y+1=0交椭圆C:
4（x-1）2+9（y+2）2=36于A、B两点，在椭圆上求一点P，使△ABP的面积最大.
解析:
因为A、B为两定点,AB为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.
解:
设椭圆C上的点P（1+3cosθ,-2+2sinθ）,由于定直线l和定椭圆C截得的弦长为定长,又设P到直线l的距离为d,
则d==|5sin（θ+α）-2|,其中tanα=.
故当sin（θ+α）=-1,即θ=2kπ+-α,k∈Z时,d有最大值,这时△ABP的面积最大.
∵sinθ=sin（2kπ+-α）=-cosα=-,cosθ=-sinα=-,∴P（）为所求.
11.已知抛物线y2=2px（p>0）上存在两点关于直线x+y-1=0对称，求p的取值范围.
解析:
利用抛物线的参数方程,设点A、B的坐标分别为（2px12,2px1）,（2px22,2px2）,又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p的不等式.
解:
设抛物线上两点A、B的坐标分别为（2px12,2px1）,（2px22,2px2）且关于直线x+y-1=0对称,则有
由第二个方程可得x1+x2=1代入第一个方程得x12+x22=＞0,故0＜p＜1.又由,得,即0＜p＜为所求.
12.已知双曲线=1（a>0,b>0）的动弦BC平行于虚轴，M、N是双曲线的左、右顶点,
（1）求直线MB、CN的交点P的轨迹方程；
（2）若P（x1,y1），B（x2,y2）,求证:
a是x1、x2的比例中项.
解析:
由题意可知点M的位置是由B、C的位置所决定的,而B、C又是动点,如果将B、C的坐标设为一般的形式,显然很难计算,计算起来很复杂,故在此可考虑将B、C两点坐标设为参数形式,对于此题的计算很有帮助.
（1）解:
由题意可设点B（asecθ,btanθ）,
则点C（asecθ-btanθ）,又M（-a,0）,N（a,0）,
∴直线MB的方程为y=（x+a）,
直线CN的方程为（x-a）.
将以上两式相乘得点P的轨迹方程为x2a2+y2b2=1.
（2）证明:
因为P既在MB上,又在CN上,由两直线方程消去y1得x1=,而x2=asecθ,所以有x1x2=a2,即a是x1、x2的比例中项.
13.
（1）求椭圆=1的内接矩形的最大面积;
（2）已知矩形ABCD中,点C坐标为（4,4）,A点在曲线x2+y2=9（x>0,y>0）上移动,且AB、AD两边始终分别平行于x、y坐标轴,求矩形面积ABCD最小时点A的坐标.
解:
（1）设内接矩形在第一象限内的顶点为P（acosθ,bsinθ）,则有
S内接矩形=4S矩形AOBP=4·acosθ·bsinθ=2absin2θ.
∵θ∈［0,］,∴2θ∈［0,π］.
∴S内接矩形的最大值为2ab.
（2）如图所示,设A（x,y）,又设矩形ABCD的面积为S,则有S=（4-x）（4-y）=16-4（x+y）+xy.
∵A（x,y）在曲线x2+y2=9上,
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=9.
∴xy=
∴S=16-4（x+y）+
=［（x+y）-4］2+.
又∵x=3cosθ,y=3sinθ（0<θ<）,
∴x+y=3（cosθ+sinθ）=32sin（θ+）.
∵<θ+<,∴3∴当x+y=4时,S有最小值.
解方程组
∴A点坐标为（）或（）.
14.点P在圆x2+（y-2）2=上移动，点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标.
解:
设Q（2cosα,sinα）,O′（0,2）,则O′Q2=（2cosα）2+（sinα-2）2=4cos2α+sin2α-4sinα+4=-3（sinα+）2+8+.
故当sinα=-时，O′Q2取最大值为，O′Q=.
当sinα=1时，O′Q2取最小值为1，O′Q=1.
又圆的半径为，
故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+，P与Q的最小距离为PQ=1-=.
PQ取最大值时，sinα=-,cosα=±，Q的坐标为（）或（-）；
PQ取最小值时，sinα=1,cosα=0，点Q的坐标为（0,1）.
15.已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1,0）、B（0,8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.
解析:
本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试.
解:
设A、B关于直线l的对称点分别为A1、B1,由对称性知∠A1OB1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A1（2pt12,2pt1）（t1＜0）,B1（2pt22,2pt2）,
又OA1=OA=1,OB1=OB=8,则有两式相除得=64.
又∵kOA1=,kOB1=,OA1⊥OB1,
∴kOA1·kOB1=-1,即t1·t2=-1.
则可将t2=-代入上式,得t16=,t1=-.
故有2p=.
∴A1（,-2）.∴kAA1=,kl=.
故所求直线l的方程为y=2x,抛物线C的方程为y2=x.
走近高考
1.（经典回放）在直角坐标系xOy中,参数方程（t为参数）表示的曲线是（ ）
A.双曲线
B.抛物线
C.直线
D.圆
解析:
由x=2t+1,得t=,并代入y=2t2-1,得（x-1）2=2（y+1）,表示抛物线.
答案:
B
2.（经典回放）下列参数方程（t为参数）中与方程y2=x表示同一曲线的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:
由A得y=x2;由C得y2=|x|与y2=x不同,排除A、C;由B得y2=x（0≤x≤1）与y2=x的定义域不同,故排除B.
答案:
D
3.（经典回放）点P（1,0）到曲线（参数t∈R）上的点的最短距离为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.2
解析:
距离d==t2+1≥1.
答案:
B
4.（经典回放）直线y=2x-与曲线（φ为参数）的交点坐标是_________.
解析:
曲线方程消去参数φ,得y=1-2x2.
与y=2x-联立,得4x2+4x-3=0.
∴x1=,x2=-.
∵-1≤x≤1,∴x=.
∴y=.
答案:
（,）
5.（经典回放）曲线（θ为参数）上一点到直线y=x-5的距离d的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.0
解析:
d=
-9≤4cos（θ+）-5≤-1,
∴d的最小值为.
答案:
C
6.设a、b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是（ ）
A.-2
B.-
C.-3
D.-
解析:
∵a2+2b2=6,∴=1.
设（θ为参数）,
∴a+b=cosθ+sinθ=3sin（θ+φ）,
其中cosφ=,sinφ=,
即a+b的最小值是-3.
答案:
C
7.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于（ ）
A.-
B.-4
C.4
D.
解析:
该双曲线方程为y2-=1,
∴a2=1,b2=-.又∵b=2a,
∴-=4.∴m=-.
答案:
A
8.设P是椭圆+y2=1（a>1）短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值.
解:
依题意可设P（0,1）,Q（x,y）,则|PQ|=
又因为Q在椭圆上,
所以x2=a2（1-y2）.
|PQ|2=a2（1-y2）+y2-2y+1
=（1-a2）y2-2y+1+a2
=（1-a2）（y-）2-+1+a2.
因为|y|≤1,a>1.
若a≥2,则||≤1,当y=时,|PQ|取最大值;
若1
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