人教A版高中数学必修三222《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案设计Word下载.docx
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重点难点
教学重点：
根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；
体会样本数字特征具有随机性.
教学难点：
用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；
能应用相关知识解决简单的实际问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时众数、中位数、平均数
导入新课
思路1
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕
甲运动员:
7,8,6,8,6,5,8,10,7,4；
乙运动员:
9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？
为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体的数字特征.（板书课题）
思路2
在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：
买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？
当然不能把所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）什么是众数、中位数、平均数？
（1）如何绘制频率分布直方图？
（3）如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？
活动:
那么学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论,教师提示引导.
讨论结果：
（1）初中我们曾经学过众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数）等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.
（2）画频率分布直方图的一般步骤为：
计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；
决定组距与组数；
将数据分组；
列频率分布表；
画频率分布直方图.
（3）教材前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）,它告诉我们,该市的月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.
请大家翻回到课本看看原来抽样的数据,有没有2.25这个数值呢？
根据众数的定义,2.25怎么会是众数呢？
为什么？
（请大家思考作答）
分析：
这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.
提问：
那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.
思考：
2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？
（原因同上：
样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
课本显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.
中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗？
（让学生讨论,并举例）
对极端值不敏感有利的例子：
考察课本中表21中的数据,如果把最后一个数据错写成22,并不会对样本中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响,而在实际应用中,人为操作的失误经常造成错误数据.
对极端值不敏感有弊的例子:
某人具有初级计算机专业技术水平,想找一份收入好的工作,这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险:
很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低,其原因是中位数对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中位数来作为参考指标,选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方法,不能反映数据中的极端情况.
同样的,可以从频率分布直方图中估计平均数,上图就显示了居民用水的平均数,它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由估计可知,居民的月均用水量的平均值为2.02t.
显示了居民月均用水量的平均数,它是频率分布直方图的“重心”.由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质.也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.从图上可以看出,用水量最多的几个居民对平均数影响较大,这是因为他们的月均用水量与平均数相差太多了.
利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：
估计众数：
频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计中位数：
中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.
估计平均数：
频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；
中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；
平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.
应用示例
例1
（1）若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是___________；
（2）如果两组数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的样本平均数分别是x和y,那么一组数x1+y1,x2+y2,…,xn+yn的平均数是___________．
活动：
学生思考或交流,教师提示,根据平均数的定义得到结论.
解：
（1）；
（2）.
例2某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：
150分）,试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些．
甲班：
11286106841001059810294107
87112949499901209895119
1081009611511110495108111105
104107119107931029811211299
92102938494941009084114
乙班：
11695109961069810899110103
949810510111510411210111396
108100110981078710810610397
10710611112197107114122101107
10711111410610410495111111110
我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平,因此,分别求出甲、乙两个班的平均分即可．
用计算器分别求出甲班的平均分为101.1,乙班的平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班．
例1下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表（单位：
h）,试估计该校学生的日平均睡眠时间．
睡眠时间
人数
频率
［6,6.5）
5
0．05
［6.5,7）
17
0．17
［7,7.5）
33
0．33
［7.5,8）
37
0．37
［8,8.5）
6
0．06
［8.5,9）
2
0．02
合计
100
1
要确定这100名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示．
解法一：
总睡眠时间约为
6.25×
5+6.75×
17+7.25×
33+7.75×
37+8.25×
6+8.75×
2=739（h）,
故平均睡眠时间约为7.39h．
解法二：
求组中值与对应频率之积的和
0.05+6.75×
0.17+7.25×
0.33+7.75×
0.37+8.25×
0.06+8.75×
0.02=7.39（h）.
答：
估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h．
例2某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．
上述百分比就是各组的频率．
估计该单位职工的平均年收入为
12500×
10%+17500×
15%+22500×
20%+27500×
25%+32500×
15%+37500×
10%+45000×
5%=26125（元）.
估计该单位人均年收入约为26125元．
知能训练
从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：
甲公司：
800800800800800100010001
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