中考总复习:函数综合--知识讲解(基础)Word下载.doc
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2.各象限内点的坐标的符号特征
3.特殊位置点的坐标
(1)坐标轴上的点
(2)一三或二四象限角平分线上的点的坐标
(3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标
(4)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标
4.距离
(1)平面上一点到x轴、y轴、原点的距离
(2)坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离
(3)平面上任意两点间的距离
5.坐标方法的简单应用
(1)利用坐标表示地理位置
(2)利用坐标表示平移
要点诠释:
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于;
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于;
(3)点P(x,y)到原点的距离等于.
考点二、函数及其图象
1.变量与常量
2.函数的概念
3.函数的自变量的取值范围
4.函数值
5.函数的表示方法(解析法、列表法、图象法)
6.函数图象
由函数解析式画其图像的一般步骤:
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值;
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、一次函数
1.正比例函数的意义
2.一次函数的意义
3.正比例函数与一次函数的性质
4.一次函数的图象与二元一次方程组的关系
5.利用一次函数解决实际问题
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k;
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.
考点四、反比例函数
1.反比例函数的概念
2.反比例函数的图象及性质
3.利用反比例函数解决实际问题
反比例函数中反比例系数的几何意义,如下图,过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM,PN,垂足为M、N,则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.
∴.
考点五、二次函数
1.二次函数的概念
2.二次函数的图象及性质
3.二次函数与一元二次方程的关系
4.利用二次函数解决实际问题
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的问题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
如图:
点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),则AB间的距离,即线段AB的长度为.
2、函数平移规律:
左加右减、上加下减.
考点六、函数的应用
1.一次函数的实际应用
2.反比例函数的实际应用
3.二次函数的实际应用
分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其关系式(或图象)也不同的函数,分段函数的应用题多设计成两种情况以上,解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题,因此,分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.
【典型例题】
类型一、用函数的概念与性质解题
1.已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b),求字母a,b的取值范围,使得:
(1)y随x的增大而增大;
(2)函数图象与y轴的交点在x轴的下方;
(3)函数的图象过第一、二、四象限.
【思路点拨】
(1)y=kx+b(k≠0)的图象,当k>0时,y随x的增大而增大;
(2)当b<0时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方;
(3)当k<0,b>0时时,函数的图象过第一、二、四象限.
【答案与解析】
解:
a、b的取值范围应分别满足:
(1)由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知:
当k>0时,函数值y随x的增大而增大,即3a-2>0,
∴,且b取任何实数.
(2)函数图象与y轴的交点为(0,1-b),
∵交点在x轴的下方,
∴,即a≠,b>1.
(3)函数图象过第一、二、四象限,则必须满足.
【总结升华】下面是y=kx(k≠0),y=kx+b(k≠0)的图象的特点和性质的示意图,如图1,当k>0时,y随x的增大而增大;
当b>0时,图象过一、二、三象限,当b=0时,是正比例函数,当b<0时,图象过一、三、四象限;
当y=x时,图象过一、三象限,且是它的角平分线.由于常数k、b不同,可得到不同的函数,k决定直线与x轴夹角的大小,b决定直线与y轴交点的位置,由k定向,由b定点.同样,如图2,是k<0的各种情况,请你指出它们的图象的特点和性质.
举一反三:
【变式】作出函数y=x,,的图象,它们是不是同一个函数?
【答案】函数的自变量x的取值范围是x≥0;
函数在x≠0时,就是函数y=x;
而x=0不在函数的自变量x的取值范围之内.
由此,作图如下:
可见它们不是同一个函数.
类型二、函数图象及性质
2.已知:
(1)m为何值时,它是一次函数.
(2)当它是一次函数时,画出草图,指出它的图象经过哪几个象限?
y是随x的增大而增大还是减小?
(3)当图象不过原点时,求出该图象与坐标轴交点间的距离,及图象与两轴所围成的三角形面积.
【思路点拨】一次函数应满足:
一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0.
(1)依题意:
,解得m=1或m=4.
∴当m=1或m=4时,它是一次函数.
(2)当m=4时,函数为y=2x,是正比例函数,图象过一,三象限,
y随x的增大而增大.
当m=1时,函数为y=-x-3,直线过二,三,四象限,y随x的增大而减小.
(3)直线y=-x-3不过原点,它与x轴交点为A(-3,0),
与y轴交点为B(0,-3),.
.
∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为,与两轴围成的三角形面积为.
【总结升华】
(1)某函数是一次函数应满足的条件是:
一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:
常数项为0.
(2)判断函数的增减性,关键是确定直线y=kx+b(k≠0)中k、b的符号.
(3)直线y=kx+b(k≠0)与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求,当直线y=kx+b(k≠0)上的点在x轴上时,令y=0,则,交点为;
当直线y=kx+b(k≠0)上的点在y轴上时,令x=0,则y=b,即交点为(0,b).
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经典例题2】
【变式】已知关于的方程.
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围;
(3)设抛物线与轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M,求的值.
【答案】
证明:
(1),
所以方程总有两个实数根.
解:
(2)由
(1),根据求根公式可知,
方程的两根为:
即,,
由题意,有,即.
(3)易知,抛物线与y轴交点为M(0,),由
(2)可知抛物线与x轴的交点为(1,0)和(,0),它们关于直线的对称点分别为(0,)和(0,),
由题意,可得或,所以或.
3.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3,则b、c的值为( )
A.b=2,c=2 B.b=2,c=0 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=﹣3,c=2
易得新抛物线的顶点,根据平移转换可得原抛物线顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式,展开即可得到b,c的值.
【答案】B.
【解析】
由题意得新抛物线的顶点为(1,﹣4),
∴原抛物线的顶点为(﹣1,﹣1),
设原抛物线的解析式为y=(x﹣h)2+k代入得:
y=(x+1)2﹣1=x2+2x,
∴b=2,c=0.
故选B.
抛物线的平移不改变二次项系数的值;
讨论两个二次函数的图象的平移问题,只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.
4.若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点,则实数k的取值范围是.
因为反比例函数的图象在第一、三象限,故一次函数y=kx+1中,k<0,将解方程组
转化成关于x的一元二次方程,当两函数图象没有公共点时,只需△<0即可.
【答案】.
【解析】由反比例函数的性质可知,的图象在第一、三象限,
∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时,k<0,
解方程组,得kx2+x-1=0,
当两函数图象没有公共点时,△<0,即1+4k<0,
解得,
∴两函数图象无公共点时,.
故答案为:
.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.关键是转化成关于x的一元二次方程,再确定k的取值范围.
类型三、函数综合题
5.已知点(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数y=的图象上.下列结论中正确的是( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
先判断出函数反比例函数y=的图象所在的象限,再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特征进行判断.
∵k2≥0,∴﹣k2≤0,﹣k2﹣1<0,
∴反比例函数y=的图象在二、四象限,
∵点(﹣1,y1)的横坐标为﹣1<0,∴此点在第二象限,y1>0;
∵(2,y2),(3,y3)的横坐标3>2>0,∴两点均在第四象限y2<0,y3<0,
∵在第四象限内y随x的增大而增大,
∴0>y3>y2,
∴y1>y3>y2.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:
当k>0时,图象分别位于第一、三象限,横纵坐标同号;
当k<0时,图象分别位于第二、四象限,横纵坐标异号.
【变式】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比