人教A版数学必修一321《几类不同增长的函数模型》教案精讲文档格式.docx

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（2）随着x的增大，y＝ax（a>

1）增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n>

0）的增长速度，而y＝logax（a>

1）的增长速度越来越慢．

（3）存在一个x0，当x>

x0时，有ax>

xn>

logax.

[小问题·

大思维]

1．对函数y1＝100x，y2＝log100x，y3＝x100，y4＝100x，当x越来越大时，增长速度最快的应该是哪一个函数？

提示：

由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y4＝100x增长速度最快．

2．你能举例说明“指数爆炸”增长的含义吗？

如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>

x0时，数量会增加得特别快，足以体现“爆炸”的效果．

3．若x∈（0,1），则2x，x，lgx的大小关系是什么？

在同一坐标系内画出函数y＝2x，y＝x和y＝lgx的图象即可得出结论，即2x>

x>

lgx

函数模型的增长差异

[例1]　一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：

一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；

二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%（即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分），问李先生应选用哪种计息方式？

[自主解答]　若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.

按单利计息，则第n年的本息为10000（1＋n×

0.8×

0.04）＝10000（1＋0.032n）（元）；

按复利计息，则第n年的本息为10000（1＋3.6%×

0.8）n＝10000×

1.0288n（元），

列表如下（单位：

元）

年数

1

2

3

4

5

单利

10320

10640

10960

11280

11600

复利

10288

10584

10889

11203

11525

6

7

8

9

10

11920

12240

12560

12880

13200

11857

12199

12550

12912

13283

从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；

若存款年数超过8年，则应选用复利计息．

——————————————————

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1．下面给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（　　）

A．指数函数：

y＝2t　　　　B．对数函数：

y＝log2t

C．幂函数：

y＝t3D．二次函数：

y＝2t2

解析：

由图象可知，该函数模型应为指数函数．

答案：

A

函数模型的应用

[例2]　某地西经柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本为Q（单位：

元/100kg）与上市时间t（单位：

天）的数据如下表：

时间t

50

110

250

种植成本Q

150

108

（1）根据上表中的数据，从下列函数中选取一个解析式来描述西红柿种植成本Q与上市时间的变化关系：

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·

bt，Q＝alogbt.

（2）利用你所选择的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

[自主解答]　

（1）由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q＝at2＋bt＋c.

即

解得Q＝t2－t＋.

（2）Q＝（t－150）2＋－

＝（t－150）2＋100，

∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.

应用题目提供的信息解决实际问题时最重要的是：

如何正确选择函数模型，由所给的数据直接发现函数模型一般来说是很困难的．我们可以根据各类函数的不同性质，特别是各类函数在一定范围内的增长差异性，直接选择可能的模型，再将个别数据代入进行筛选，从而确定正确的函数模型．

2．电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）．（注：

图中MN∥CD）试问：

（1）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？

（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

（3）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．

解：

由图可知M（60,98），N（500,230），C（500,168），

MN∥CD.

设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA（x），fB（x），则

fA（x）＝

fB（x）＝

（1）通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．

（2）因为fB（x＋1）－fB（x）

＝（x＋1）＋18－x－18

＝＝0.3（元）（x>

500），

所以，方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．

（3）由图知，当0≤x≤60时，

有fA（x）<

fB（x）．

当x>

500时，fA（x）>

fB（x），

当60<

x≤500时，由fA（x）>

fB（x），得x>

，

即当通话时间在（，＋∞）时，方案B较方案A优惠.

解题高手

易错题

审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！

某工厂转换机制，两年内生产产值的月增长率都是a，则这两年的年增长率是多少？

[错解]　设第一年年末的产值为b，则第二年年末的产值是b（1＋a）11，

依题意得所求增长率是＝（1＋a）11－1.

[错因]　本题错解的原因是对增长率问题的公式y＝N（1＋p）x未能理解透彻而造成指数写错．或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误．

[正解]　不妨设第一年一月份产值为b.

则二月份产值为b（1＋a），十二月份产值为b（1＋a）11，

年产值总量M1＝b[1＋（1＋a）＋（1＋a）2＋…＋（1＋a）11]

第二年一月份产值为b（1＋a）12，

二月份产值为b（1＋a）13.

…十二月份产值为b（1＋a）23，

年产值总量M2＝b（1＋a）12[1＋（1＋a）＋…＋（1＋a）11]．所以这两年增长率为＝（1＋a）12－1.

1．以固定的速度向图

（1）形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是下列选项的（　　）

水的高度增长越来越快．

B

2．1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2013年底世界人口数为y（亿），那么y与x的函数解析式为（　　）

A．y＝54.8（1＋x%）19　　B．y＝54.8（1＋x%）21

C．y＝54.8（x%）19D．y＝54.8（x%）20

由题意，1993年底人口为54.8（1＋x%），1994年底人口为54.8（1＋x%）2，…，故2013年底人口为54.8（1＋x%）21.

3．根据统计资料，某种能源生产自1998年以来发展很快，下面是我国能源生产总量的几个统计数据：

年份

1998年

2003年

2008年

总量

8.6亿吨

10.4亿吨

12.9亿吨

有关专家预测，到2013年该能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家选择作为模型进行预测的函数类型为（　　）

A．一次函数B．二次函数

C．指数函数D．对数函数

可画散点图容易看出是二次函数．

4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示．

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；

②前三年产量增长的速度越来越慢；

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变．

其中说法正确的序号是________．

由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa（0<

a<

1）．反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．

②③

5．如图所示，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2m，边坡的倾角为45°

，水深hm，则横截面中有水面积Am2与水深hm的函数关系式为________．

关键是求梯形上底．由已知得梯形上底为2＋2h，所以A＝[2＋（2＋2h）]h＝h2＋2h（h>

0）．

A＝h2＋2h（h>

6．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：

在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：

y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（图略）．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方．这说明只有按模型y＝log5x进行奖励时才符合学校的要求．

一、选择题

1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（　　）

A．一次函数　　　　　　　　B．二次函数

C．指数型函数D．对数型函数

一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；

二次函数在对称轴的两侧有增也有降；

而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；

因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．

D

2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是（　　）

A．y＝0.2xB．y＝（x2＋2x）

C．y＝D．y＝0.2＋log16x

用排除法，当x＝1时，否定B项；

当x＝2时，否定D项，当x＝3时，否定A项．

C

3．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f（x）的大致图象是（　　）

设今年绿地面积为m，则有my＝（1＋10%）xm，

∴y＝1.1x.

4．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则（　　）

A．a>

bB．a<

b

C．a＝bD．无法判断

∵b＝a（1＋10%）（1－10%）＝a（1－）．

∴b＝a×

，∴b<

a.

二、填空题

5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：

小时，