版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第52讲几何概型+Word版含答案Word格式文档下载.docx

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5分

1．几何概型

如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度（面积或体积）__成比例，而与A的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的两个特点

一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的；

二是__等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的__图形面积（体积、长度）__”与“试验的基本事件所占的__总面积（总体积、总长度）__”之比来表示．

3．在几何概型中，事件A的概率的计算公式

P（A）＝__　　__.

4．随机模拟方法

（1）使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：

①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；

②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；

③计算频率fn（A）＝作为所求概率的近似值．

1．思维辨析（在括号内打“√”或“”）．

（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（　√　）

（2）相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．（　×

　）

（3）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（　√　）

（4）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（　√　）

解析　

（1）正确．由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确．

（2）错误．虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等．

（3）正确．由几何概型的定义知，该说法正确．

（4）正确．由几何概型的定义知，该说法正确．

2．在区间（15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a，则这个实数满足17＜a＜20的概率是（　C　）

A．　　　B．　　　

C．　　　D．

解析　∵a∈（15,25]，

∴P（17＜a＜20）＝＝.

3．有一杯2L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为（　C　）

A．0.01　　　B．0.02　　　　

C．0.05　　　D．0.1

解析　因为取水是随机的，而细菌在2L水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P＝＝0.05.

4．已知x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2＜0的概率为（　B　）

A．　　　B．　　　　

C．　　　D．0

解析　x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1，则P＝＝.

5．某路公共汽车每5min发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3min的概率是（　A　）

解析　此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]内的概率．设A＝{某乘客候车时间不超过3min}，则P（A）＝＝.

一　与长度、角度有关的几何概型

（1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线段l的概率为P＝.

（2）当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．

【例1】

（1）设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是（　B　）

（2）（2017·

江苏卷）记函数f（x）＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是__　　__.

（3）甲、乙两个人玩一转盘游戏（转盘如图①，C为弧AB的中点），任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜．然后继续游戏，你觉得此时游戏__不公平__（填公平或不公平），因为P甲__＜__P乙（填“<

”“>

”或“＝”）．

解析　

（1）作等腰直角△AOC和△AMO，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，

弦长|AB|＞R，

∴P＝＝.

（2）由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.

（3）连接OE，在Rt△AOD中，∠AOE＝，∠DOE＝，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE的概率是P甲＝÷

＝，指针指向线段ED的概率是P乙＝÷

＝，所以P甲<

P乙，所以乙胜的概率大，即这个游戏不公平．

二　与面积有关的几何概型

与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．

【例2】

（1）如图，已知圆的半径为10，其内接△ABC的内角A，B分别为60°

和45°

，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在△ABC内的概率为（　B　）

A．　　　B．

（2）某校早上8：

00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：

30～7：

50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__　　__（用数字作答）．

解析　

（1）由正弦定理＝＝2R（R为圆的半径）⇒⇒那么S△ABC＝×

10×

sin75°

＝×

＝25（3＋）．于是，豆子落在三角形ABC内的概率为＝＝.

（2）设小张与小王的到校时间分别为7：

00后第x分钟、第y分钟．根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为（50－30）2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{（x，y）|y－x≥5，30≤x≤50，30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为×

15×

15＝，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P（A）＝＝.

三　与体积有关的几何概型

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

【例3】

（1）在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为__1－　__.

（2）在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是__　__.

解析　

（1）正方体的体积为2×

2×

2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×

πr3＝×

π×

13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为1－＝1－.

（2）由题意知＞，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝>

，又＝，所以＞，故所求的概率为（即为长度之比）．

1．把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（　A　）

A．－1　　　B．

C．－　　　D．

解析　这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P＝＝－1.故选A．

2．在区间[－1,1]上随机取一个数x，使cos的值介于0到之间的概率为（　A　）

解析　在区间[－1,1]上随机取一个数x，试验的全部结果构成的区域长度为2.

∵－1≤x≤1，∴－≤x≤.

由0≤cosx≤，得≤x≤或－≤x≤－，

∴≤x≤1或－1≤x≤－.

设事件A为“cosx的值介于0到之间”，则事件A发生对应的区域长度为.∴P（A）＝＝.

3．在区间[－2,2]上随机取一个数x，使－≤1成立的概率为____.

解析　在区间[－2,2]上随机取一个数x，则－2≤x≤2，而满足不等式|x＋1|－|x－1|≤1的x的取值为x≤.又因为－2≤x≤2，故－2≤x≤，所以使不等式成立的概率为P＝＝.

4．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__0.18__.

解析　由题意知，这是个几何概型问题，＝＝0.18，

∵S正＝1，∴S阴＝0.18.

错因分析：

对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误．

【例1】

（1）在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM＜AC的概率为______.

（2）在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为______.　

解析　

（1）这是一个与长度有关的几何概型问题，在AB上截取AC′＝AC，于是P（AM＜AC）＝P（AM＜AC′）＝＝＝.

（2）这是一个与角度有关的几何概型问题，在AB上截取AC′＝AC，则∠ACC′＝＝67.5°

，而∠ACB＝90°

，于是P（AM＜AC）＝P（AM＜AC′）＝＝.

答案　

（1）　

（2）

【跟踪训练1】在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则（　D　）

A．p1＜p2＜　　　B．p2＜＜p1

C．＜p2＜p1　　　D．p1＜＜p2

解析　（x，y）构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤的区域如图

（1）中阴影部分所示，所以p1＝＝，满足xy≤的区域如图

（2）中阴影部分所示，所以p2＝＝＞，所以p1＜＜p2.故选D.

课时达标　第52讲

[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现．

一、选择题

1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　B　）

解析　区间[－2,3]的长度为3－（－2）＝5，[－2,1]的长度为1－（－2）＝3，故满足条件的概率P＝.

2．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为（　C　）

解析　方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2（舍去）．所以所求概率为＝.

3．在区间[0,2π]上任取一个数x，则使得2sinx>

1的概率为（　C　）

解析　∵2sinx>

1，x∈[0,2π]，∴x∈，

∴P＝＝.故选C．

4．（2017·

全国卷Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　B　）

解析　设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为.根据几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝.故选B.

5．设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是（　D　）

解析　作出平面区域可知平面区域D是以A（4,3），B（4，－2），C（－6，－2）为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距