最新高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结优秀名师资料文档格式.docx
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AxByC，,
2222x，y若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答:
）5,2x，yx,y,R3x，2y,6
2222xyyx,,
（2）双曲线:
焦点在轴上:
=1，焦点在y轴上:
1（）。
方程xab,,0,02222abab
22表示双曲线的充要条件是什么,（ABC?
0，且A，B异号）。
OP（4,,10）如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，FFe,21222则C的方程为_______（答:
）xy,,6
22（3）抛物线:
开口向右时，开口向左时，开口向上时ypxp,,2（0）ypxp,,,2（0）22，开口向下时。
xpyp,,2（0）xpyp,,,2（0）
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）:
22y
（1）椭圆:
由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
x
22xy如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答:
，,1m,12,m
3）（,,,,1）:
（1,）222y
（2）双曲线:
由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;
（3）抛物线:
焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
222222提醒:
在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
acabc,，cab,，
4.圆锥曲线的几何性质:
22xy，,1ab,,0
（1）椭圆（以（）为例）:
?
范围:
;
焦点:
两,,,,,,axabyb,22ab
个焦点;
对称性:
两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，（,0）,cxy,,0,0（,0）,（0,）,,ab
2acbx,,01,,e其中长轴长为2，短轴长为2;
准线:
两条准线;
?
离心率:
e,，椭圆，,aca越小，椭圆越圆;
越大，椭圆越扁。
ee
2225xy10如
（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答:
3或）;
m，,1e,5m53
（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答:
）22
22xy
（2）双曲线（以（）为例）:
或;
,1xa,,ab,,0,0xayR,,,22ab
两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其两个焦点（,0）,cxy,,0,0（,0）,a中实轴长为2，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为a
2ac22;
两条准线x,,;
，双曲线，等轴双曲线e,1e,,xykk,,,,0ca
b，越小，开口越小，越大，开口越大;
两条渐近线:
。
eee,2yx,,a
p23）抛物线（以为例）:
一个焦点，其中（p（,0）ypxp,,2（0）xyR,,0,2的几何意义是:
焦点到准线的距离;
一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）;
y,0
pcx,,?
一条准线;
，抛物线。
e,1e,,2a
12如设，则抛物线的焦点坐标为________（答:
）;
y,4axa,0,a,R（0,）16a
2222xyxy00，,1，,15、点和椭圆（ab,,0）的关系:
（1）点在椭圆外;
Pxy（,）Pxy（,）,00002222abab
2222xyxy0000，，,1
（2）点在椭圆上,1;
（3）点在椭圆内Pxy（,）Pxy（,）,,00002222abab
6（直线与圆锥曲线的位置关系:
,0,,,0
（1）相交:
直线与椭圆相交;
直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一,
,0,,0定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与
,,0双曲线相交的充分条件，但不是必要条件;
直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定,,0,,0有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
,0,,0,,0
（2）相切:
直线与椭圆相切;
直线与双曲线相切;
直线与抛物线相,,,切;
,0,,0,,0（3）相离:
直线与椭圆相离;
直线与双曲线相离;
直线与抛物线相,,,离。
提醒:
（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;
如果直线与抛物线的轴平行时,直线
22xy,与抛物线相交,也只有一个交点;
（2）过双曲线,1外一点Pxy（,）的直线与双曲线只有一个0022ab
公共点的情况如下:
P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;
P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;
P在两条渐近线上但非原点，只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;
P为原点时不存在这样的直线;
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
27、焦点三角形（椭圆一点与两焦点所构成的三角形）问题:
，当即Sbcy,,tan||||yb,002P为短轴端点时，的最大值为bc;
Smax
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:
（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则?
AMF,?
BMF;
（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA?
PB;
（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，1111
反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
AB9、弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则xx,ykxb,，12
121，y,yAB,，若分别为A、B的纵坐标，则,，若弦AB所在直线yy,1，,kxx1212122k
2AB方程设为，则,。
特别地，焦点弦（过焦点的弦）:
焦点弦的弦长的计1，,kyyxkyb,，12
算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
10、圆锥曲线的中点弦问题:
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
222bxxy0在椭圆，,1中，以为中点的弦所在直线的斜率k=,;
Pxy（,）00222abay0222bxxy0,,1在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=;
在抛物线Pxy（,）00222abay0
p2中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
ypxp,,2（0）Pxy（,）00y0
因为,,0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别
,0忘了检验～
11（了解下列结论
2222yyxx
（1）双曲线的渐近线方程为;
,1,,02222abab2222byyxx
（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为y,,x,,1,,,（,2222aabab
参数，?
0）。
22（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
mxny，,1
22b（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距a
2bp离）为，抛物线的通径为，焦准距为;
2pc
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦;
2（6）若抛物线的焦点弦为AB，AxyBxy（,）,（,），则?
||ABxxp,，，;
ypxp,,2（0）112212
2p2xxyyp,,,,?
12124
2（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点ypxp,,2（0）
（2,0）p
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
1
（1）在中，给出,等于已知AD是中边的中线;
ABC,ABCBCADABAC,，，，2222
（2）在中，给出，等于已知O是的外心（三角形外接圆的圆,ABC,ABCOA,OB,OC
心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）;
（3）在中，给出，等于已知O是的重心（三角形的重心是三,ABC,ABCOA，OB，OC,0
角形三条中线的交点）;
）在中，给出，等于已知O是的垂心（三角形（4,ABC,ABCOA,OB,OB,OC,OC,OA
的垂心是三角形三条高的交点）;
（5）给出以下情形之一:
存在实数;
若存在实数,,,使ABAC,AB//AC
等于已知三点共线.,,,,,,,,1,且使，,,，OCOAOBA,B,C
MA,MB，AMB（6）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已MA,MB,0MA,MB,m,0，AMB，AMB知是钝角,给出,等于已知是锐角,MA,MB,m,0
,,,MAMBMP，AMB,，,MP（8）给出,等于已知是的平分线/,,,,MAMB,,
（9）在平行四边形ABCD中，给出（AB，AD）,（AB,AD）,0，等于已知ABCD是菱形;
ABCDABCD（10）在平行四边形中，给出||||ABADABAD，,,，等于已知是矩形;
13.圆锥曲线中线段的最值问题:
2例1、
（1）抛物线C:
y=4x上一点P到点A（3,4）与到准线的距离和最小,则点P的坐标为2
______________
2
（2）抛物线C:
y=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
AQPH,PF分析:
（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，HBP当A、P、F三点共线时，距离和最小。
F
（2）B在抛物线内，如图，作QR?
l交于R，则当B、Q、R三点共线
1,1时，距离和最小。
解:
（1）（2，）
（2）（）24
2x2，y,11、已知椭圆C的方程为，双曲线C的左、右焦点分别为C的左、右顶点，而C的左、右12124
顶点分别是C的左、右焦点。
1
（1）求双曲线C的方程;
2
（2）若直线l:
与椭圆C及双曲线C恒有两个不同的交点，且l与C的两个交点Ay,kx，2122
和B满足（其中O为原点），求k的取值范围。
OA,OB,6
22xy22222解:
（?
）设双曲线C的方程为，则2a,4,1,3,再由a，b,c得b,1.,,122ab
22xx2222y,kx，2代入，y,1得（1，4k）x，82kx，4,0.故C的方程为,,y1.（II）将234
由直线l与椭圆C恒有两个不同的交点得1
122222即?
,（82）k,16（1，4k）,16（4k,1）,0,k,.14
2x222将y,kx，2代入,y,1得（1,3k）x,62kx,9,0.由直线l与双曲线C恒有两个不23
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