整理61 二元函数的极限与连续.docx

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整理61二元函数的极限与连续

第6章多元微分学

教学目的：

1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5．掌握多元复合函数偏导数的求法。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。

9．会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1．二元函数的极限与连续性；

2．函数的偏导数和全微分；

3．方向导数与梯度的概念及其计算；

4．多元复合函数偏导数；

5．隐函数的偏导数

6．曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

7．多元函数极值和条件极值的求法。

教学难点：

1．二元函数的极限与连续性的概念；

2．全微分形式的不变性；

3．复合函数偏导数的求法；

4．隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

5．拉格郎日乘数法；

6．多元函数的最大值和最小值。

6.1二元函数的极限与连续

6．1．1区域

1．平面点集

由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点与有序二元实数组之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组与平面上的点视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组的全体,即就表示坐标平面.

坐标平面上具有某种性质的点的集合,称为平面点集,记作：

。

例如,平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是

如果我们以点表示，以表示点到原点的距离,那么集合可表成

.

2．邻域

设是平面上的一个点,δ是某一正数.与点距离小于δ的点的全体,称为点P0的δ邻域,记为,即

或.

邻域的几何意义：

表示平面上以点为中心、δ>0为半径的圆的内部的点的全体.

点的去心δ邻域,记作，即：

.

注：

如果不需要强调邻域的半径δ,则用表示点的某个邻域,点的去心邻域记作.

3．点与点集之间的关系

任意一点P∈R2与任意一个点集E⊂R2之间必有以下三种关系中的一种:

（1）内点：

如果存在点P的某一邻域U（P）,使得U（P）⊂E,则称为的内点;

（2）外点：

如果存在点P的某个邻域U（P）,使得U（P）⋂E=∅,则称为的外点;

（3）边界点：

如果点P的任一邻域内既有属于的点,也有不属于的点,则称点为的边界点.

的边界点的全体,称为的边界,记作∂E.

的内点必属于;的外点必定不属于;而的边界点可能属于,也可能不属于.

聚点：

如果对于任意给定的,点的去心邻域内总有中的点,则称是的聚点.

由聚点的定义可知,点集的聚点本身,可以属于,也可能不属于。

例如,设平面点集E={（x,y）|1

满足1

4．区域

开集:

如果点集E的点都是内点,则称E为开集.

闭集:

如果点集的余集Ec为开集,则称E为闭集.

开集的例子:

E={（x,y）|1

闭集的例子:

E={（x,y）|1≤x2+y2≤2}.

集合{（x,y）|1

连通性:

如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,则称E为连通集.

区域（或开区域）:

连通的开集称为区域或开区域.例如E={（x,y）|1x2+y22}.

闭区域:

开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E={（x,y）|1≤x2+y2≤2}.

有界集:

对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得E⊂U（O,r）,

其中O是坐标原点,则称E为有界点集.

无界集:

一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.

例如,集合{（x,y）|1≤x2+y22}是有界闭区域;集合{（x,y）|x+y>1}是无界开区域;

集合{（x,y）|x+y≥1}是无界闭区域.

*5.n维空间

设n为取定的一个自然数,我们用表示n元有序数组（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）的全体所构成的集合,即

Rn=R⨯R⨯⋅⋅⋅⨯R={（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）|xi∈R,i=1,2,⋅⋅⋅,n}.

Rn中的元素（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）有时也用单个字母x来表示,即x=（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）.当所有的xi（i=1,2,⋅⋅⋅,n）都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2（或R3）中的元素分别与平面（或空间）中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x=（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）也称为Rn中的一个点或一个n维向量,xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.

为了在集合Rn中的元素之间建立联系,在Rn中定义线性运算如下:

设x=（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）,y=（y1,y2,⋅⋅⋅,yn）为Rn中任意两个元素,λ∈R,规定

x+y=（x1+y1,x2+y2,⋅⋅⋅,xn+yn）,λx=（λx1,λx2,⋅⋅⋅,λxn）.

这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.

Rn中点x=（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）和点y=（y1,y2,⋅⋅⋅,yn）间的距离,记作ρ（x,y）,规定

.

显然,n=1,2,3时,上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一致.

Rn中元素x=（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）与零元0之间的距离ρ（x,0）记作||x||（在R1、R2、R3中,通常将||x||记作|x|）,即

.

采用这一记号,结合向量的线性运算,便得

.

在n维空间Rn中定义了距离以后,就可以定义Rn中变元的极限:

设x=（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）,a=（a1,a2,⋅⋅⋅,an）∈Rn.

如果

||x-a||→0,

则称变元x在Rn中趋于固定元a,记作x→a.

显然,x→a⇔x1→a1,x2→a2,⋅⋅⋅,xn→an.

在Rn中线性运算和距离的引入,使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念,可以方便地引入到n（n≥3）维空间中来,例如,

设a=（a1,a2,⋅⋅⋅,an）∈Rn,δ是某一正数,则n维空间内的点集

U（a,δ）={x|x∈Rn,ρ（x,a）<δ}

就定义为Rn中点a的δ邻域.以邻域为基础,可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点,以及开集、闭集、区域等一系列概念.

6．1．2多元函数的概念

例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系

V=πr2h.

这里,当r、h在集合{（r,h）|r>0,h>0}内取定一对值（r,h）时,V对应的值就随之确定.

例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

其中R为常数.这里,当V、T在集合{（V,T）|V>0,T>0}内取定一对值（V,T）时,p的对应值就随之确定.

例3设R是电阻R1、R2并联后的总电阻,由电学知道,它们之间具有关系

.

这里,当R1、R2在集合{（R1,R2）|R1>0,R2>0}内取定一对值（R1,R2）时,R的对应值就随之确定.

定义1：

设是的一个非空子集,称映射为定义在上的二元函数,通常记为：

（或）

其中点集称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量.

上述定义中,与自变量x、y的一对值（x,y）相对应的因变量z的值,也称为f在点（x,y）处的函数值,记作,即.

值域:

f（D）={z|z=f（x,y）,（x,y）∈D}.

函数的其它符号:

等.

类似地可定义三元函数u=f（x,y,z）,（x,y,z）∈D以及三元以上的函数.

一般地,把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D,映射f:

D→R就称为定义在D上的n元函数,通常记为：

u=f（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）,（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）∈D,

或简记为：

u=f（x）,x=（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）∈D,

也可记为：

u=f（P）,P（x1,x2,⋅⋅⋅,xn）∈D.

关于函数定义域的约定:

在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f（x）时,就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而,对这类函数,它的定义域不再特别标出.例如,

函数z=ln（x+y）的定义域为{（x,y）|x+y>0}（无界开区域）;

函数z=arcsin（x2+y2）的定义域为{（x,y）|x2+y2≤1}（有界闭区域）.

二元函数的图形:

点集{（x,y,z）|z=f（x,y）,（x,y）∈D}称为二元函数z=f（x,y）的图形,二元函数的图形是一张曲面.

例如z=ax+by+c是一张平面,而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面.

6．1．3二元函数的极限

与一元函数的极限概念类似,如果在的过程中,对应的函数值无限接近于一个确定的常数,则称是函数当时的极限.

定义2：

设二元函数的定义域为，是的聚点.如果存在常数，对于任意给定的正数总存在正数δ,使得当时,都有

成立,则称常数为函数当时的极限,记为

或（）,

也记作

或

上述定义的极限也称为二重极限.

例4.设,求证.

证：

因为

可见对∀>0,取,则

当，即时，总有，

因此。

必须注意:

（1）二重极限存在,是指以任何方式趋于时,函数都无限接近于.

（2）如果当以两种不同方式趋于时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.

讨论：

（）函数在点（0,0）有无极限？

提示：

当点沿x轴趋于点（0,0）时,

;

当点沿y轴趋于点（0,0）时,

.

当点沿直线有

.

因此,函数在（0,0）处无极限.

（）

提示：

在点的去心领域内并不总是有意义（），这有悖于二重极限的定义，所以极限不存在。

亦可：

当取路径时，由于极限

==

与k值有关[）～（）]，所以极限不存在。

多元函数的极限运算法则:

与一元函数的情况类似.

例5：

求.

解:

=1⨯2=2.

注（3）：

求二元函数的极限一般是通过换元或代数式变形等方法把问题转化为一元函数的极限问题---即多元