数学建模案例之多变量最优化.docx
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数学建模案例之多变量最优化
JennywascompiledinJanuary2021
数学建模案例之多变量最优化
数学建模案例之
多变量无约束最优化
问题1[1]：
一家彩电制造商计划推出两种产品：
一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价（MSRP）为339美元。
另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。
公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。
在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。
据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。
而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。
据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
问题是：
每种彩电应该各生产多少台？
清晰问题：
问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及较多的变量：
s：
19英寸彩电的售出数量（台）；
t：
21英寸彩电的售出数量（台）；
p：
19英寸彩电的售出价格（美元/台）；
q：
21英寸彩电的售出价格（美元/台）；
C：
生产彩电的成本（美元）；
R：
彩电销售的收入（美元）；
P：
彩电销售的利润（美元）
这里涉及的常量有：
两种彩电的初始定价分别为：
339美元和399美元，成本分别为：
195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。
变量之间的相互关系确定：
假设1：
对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。
假设2：
据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
因此，19英寸彩电的销售价格为：
p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.01
21英寸彩电的销售价格为：
q=399-0.01×t-0.04×s
因此，总的销售收入为：
R=p×s+q×t
生产成本为：
C=400000+195×s+225×t
净利润为：
P=R-C
因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
（1）
3．模型求解
3.1求解方法
（1）求出驻点（s0，t0），即解方程组
（2）判断是否在驻点处取得极值，方法如下：
1）先计算
2）若，则（s0，t0）是极小值点；
若，则（s0，t0）是极大值点；
若，则（s0，t0）不是极值点；
若，则不能肯定（s0，t0）是不是极值点，必须考察更高阶的偏导数。
3.2计算结果
（1）利用Matlab计算出驻点为：
（4735.04，7042.7）,其中a=0.01；
（2）利用Matlab计算出D1=-0.02<0，D2=0.000351>0，因此P（s,t）在（4735，7043）处取得极大值：
553641美元。
（3）辅助数据：
p=270.52；q=309.63；C=2907950；利润率=0.190389。
3.3结果解释
简单地讲，这家公司可以通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润是553641美元。
19英寸彩电的平均售价为270.52美元/台；21英寸彩电的平均售价为309.63美元/台；生产的总成本为2907950美元；相应的利润率为19.0389%。
根据以上结果显示了是有利可图的，因此建议这家公司的推出新产品计划应该实行。
图形显示见下图。
图1彩电问题
4．灵敏性分析
在报告结论之前，应该对关于彩电市场和生产过程所作的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳定性。
我们主要关心的是决策变量s、t的值，因为公司据此来确定生产量。
在前面的计算中，我们假设a=0.01美元/台，下面考虑当19英寸的彩电的价格弹性系数a发生微小的变化时，公司的生产量以及利润将如何变化。
4.1产量对a的灵敏性分析
（2）
它的驻点为：
（3）
由
（2）可得，19英寸彩电的价格弹性系数a的增加，会导致19英寸彩电的最优生产量s（a）的下降，而21英寸彩电的最优生产量t（a）会增加，见图2。
图2s和t关于a的变化的灵敏性曲线
我们计算得到灵敏性的具体数值（其中a=0.01,s=s（a）,t=t（a））：
因此，如果19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，则应该将19英寸彩电的生产量减少11%，21英寸彩电的生产量增加2.7%。
4.2利润对a的灵敏性分析
为了得到利润P（s,t）对于a的灵敏性，将（3）带入
（2）,可得P（a）:
灵敏性计算结果为（其中a=0.01,P=P（a））：
因此，19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，会使利润下降约4%，见图3。
图3利润P关于a的灵敏性曲线
5．参考资料
[1]MarkM.Meerschaert.数学建模方法与分析，北京：
机械工业出版社，2005
6．附录
1．模型求解结果
symsst;
P=（339-0.01*s-0.003*t）*s+（399-0.004*s-0.01*t）*t-（400000+195*s+225*t）;
Ps=diff（P,s）;
Pt=diff（P,t）;
A=solve（Ps,Pt）;
s0=double（A.s）;
t0=double（A.t）;
Pss=diff（Ps,s）;
Pst=diff（Ps,t）;
Pts=diff（Pt,s）;
Ptt=diff（Pt,t）;
Jd=[PssPst;PtsPtt];
D1=subs（subs（Pss,s,s0）,t,t0）;
D2=double（det（Jd））;
Pmax=subs（subs（P,s,s0）,t,t0）;
%
%绘制利润函数的图形
%
h1=figure
[X,Y]=meshgrid（0:
10:
10000,0:
10:
10000）;
Z=（339-0.01*X-0.003*Y）.*X+（399-0.004*X-0.01*Y）.*Y-（400000+195*X+225*Y）;
mesh（X,Y,Z）
XLabel（'19英寸彩电数量（台）'）
YLabel（'21英寸彩电数量（台）'）
ZLabel（'利润（元）'）
boxon
gridon
%
%绘制等值线
%
h2=figure
contour（X,Y,Z）
XLabel（'19英寸彩电数量（台）'）
YLabel（'21英寸彩电数量（台）'）
2.灵敏性程序
%
%第3讲案例1:
灵敏性分析
%
%
symsast;
P=（339-a*s-0.003*t）*s+（399-0.004*s-0.01*t）*t-（400000+195*s+225*t）;
dPs=diff（P,s）;
dPt=diff（P,t）;
A=solve（dPs,dPt,s,t）;%求驻点
sa=A.s
ta=A.t
Pa=subs（subs（P,s,sa）,t,ta）;
dsa=diff（sa,a）;
dta=diff（ta,a）;
dPa=diff（Pa,a）;
%
%灵敏性值
%
Ssa=subs（dsa,a,0.01）*0.01/subs（sa,a,0.01）
Sta=subs（dta,a,0.01）*0.01/subs（ta,a,0.01）
SPa=subs（dPa,a,0.01）*0.01/subs（Pa,a,0.01）
%
%绘制s,t对a的灵敏性曲线
%拷贝sa,st到函数fplot中
%
h1=figure
gridon
holdon
fplot（'1662000/（-49+40000*a）',[0.0050.02],'ro-'）;
fplot（'48000*（-21+7250*a）/（-49+40000*a）',[0.0050.02],'b*-'）;
legend（'sa：
19寸彩电产量变化','ta：
21寸彩电产量变化',1）
XLabel（'参数a的变化：
[0.0050.02]（单位：
元/台）'）
YLabel（'产量sa,ta（单位：
台）'）
title（'产量s和t关于参数a的灵敏性曲线'）
holdoff
%gridoff
%
%计算并绘制利润率对参数a的灵敏性曲线
%拷贝Pa到函数fplot中
%
h2=figure
gridon
fplot（'16000*（892250*a+3223）/（-49+40000*a）',[0.0050.02],'r-'）
XLabel（'参数a的变化：
[0.0050.02]（单位：
元/台）'）
YLabel（'利润Pa（单位：
元）'）
title（'利润Pa关于参数a的灵敏性曲线'）
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