线段的垂直平分线与角平分线资料讲解Word文档下载推荐.docx
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到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图2,∵AC=BC
∴点C在线段AB的垂直平分线m上.
证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
(1)关于三角形三边垂直平分线的性质:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
性质的作用:
证明三角形内的线段相等.
(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:
若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;
若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;
若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,也成立。
4、角平分线的性质定理:
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如图4,
∵OE是∠AOB的平分线,F是OE上一点,且CF⊥OA于点C,DF⊥OB于点D,∴CF=DF.
①证明两条线段相等;
②用于几何作图问题;
角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理:
角平分线的判定定理:
在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
如图5,
∵点P在∠AOB的内部,且PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,且PC=PD,
∴点P在∠AOB的平分线上.
用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理:
(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:
三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
如图6,如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线,那么:
①AP、BQ、CR相交于一点I;
②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F,则DI=EI=FI.
①用于证明三角形内的线段相等;
②用于实际中的几何作图问题.
(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:
(1)会作已知线段的垂直平分线;
(2)会作已知角的角平分线;
(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
【典型例题】
例1、如图1,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于( )
A.6cm B.8cmC.10cm D.12cm
【跟踪练习】
(1)如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,
如果△EBC的周长是24cm,那么BC=_________;
(2)如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,
如果BC=8cm,那么△EBC的周长是______;
(3)如图,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,
如果∠A=28度,
那么∠EBC=___.
例2、已知:
AB=AC,DB=DC,E是AD上一点,求证:
BE=CE.
已知:
在△ABC中,ON是AB的垂直平分线,OA=OC.求证:
点O在BC的垂直平分线.
C
例3、在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°
,△ABC的底角∠B的大小为_______________。
在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°
,则底角B的大小为________________。
例4、如图8,已知AD是△ABC的BC边上的高,且∠C=2∠B,求证:
BD=AC+CD.
例5、已知:
如图,点B、C在∠A的两边上,且AB=AC,P为∠A内一点,PB=PC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E、F。
求证:
PE=PF
PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线,它们交于P,PD⊥BM于D,PF⊥BN于F,求证:
BP为∠MBN的平分线。
例6、如图10,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,E为BC中点,连接AE、DE,DE平分∠ADC,求证:
AE平分∠BAD.
如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:
DE=DF。
例7、如图11,已知在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,且∠BAD与∠BCD互补,
AD=CD.
【课堂练习】
1.如图,AC=AD,BC=BD,则()
A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACBD.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
3.△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC=5cm,BC=4cm,那么△DBC的周长是()
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
4.如图所示,AB//CD,O为∠A、∠C的平分线的交点,OE⊥AC于E,
且OE=2,则AB与CD之间的距离等于______________。
5.已知,如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,
AO⊥BC.
6.如图7,在△ABC中,AC=23,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACE的周长为50,求BC边的长.
7.已知:
如图所示,∠ACB,∠ADB都是直角,且AC=AD,P是AB上任意一点,求证:
CP=DP.
8.如图,AD⊥DC,BC⊥DC,E是DC上一点,AE平分∠DAB.
(1)如果BE平分∠ABC,求证:
点E是DC的中点;
(2)如果E是DC的中点,求证:
BE平分∠ABC.
9.如图,在△ABC中,AB=BC=AC,AD⊥BC于D,E、F分别为AB、AC中点.求证:
DA平分∠EDF.
10.如图,在直线MN上找一点P,使点P到直线AB和射线OC的距离相等.
【课后作业】
1.下列命题中正确的命题有()
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;
③经过线段中点的直线只有一条;
④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.△ABC中,AB=AC,AC的中垂线交AB于E,△EBC的周长为20cm,AB=2BC,则腰长为________________。
3.如图所示,直线表示三条互相交叉的公路,现在要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()
A.一处B.二处C.三处D.四处
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°
,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证:
CM=2BM.
5.如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证:
AD平分∠BAC.
6.如图,△ABC中,∠ABC=1000,∠ACB的平分线交AB于E,在AC上取一点D,使∠CBD=200,连结DE.求∠CED的度数.