全国Ⅱ卷普通高等学校全国统一考试文数试题Word版含答案.docx
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全国Ⅱ卷普通高等学校全国统一考试文数试题Word版含答案
状元考前提醒
拿到试卷：
熟悉试卷
刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略
答题策略一共有三点：
1.先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2.先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3.先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平
考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功
在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分
考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究
发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则A∩B=
A．（–1，+∞）B．（–∞，2）
C．（–1，2）D．
2．设z=i（2+i），则=
A．1+2iB．–1+2i
C．1–2iD．–1–2i
3．已知向量a=（2，3），b=（3，2），则|a–b|=
A．B．2
C．5D．50
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．B．
C．D．
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：
我的成绩比乙高．
乙：
丙的成绩比我和甲的都高．
丙：
我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
6．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）=，则当x<0时，f（x）=
A．B．
C．D．
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．若x1=，x2=是函数f（x）=（>0）两个相邻的极值点，则=
A．2B．
C．1D．
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2B．3
C．4D．8
10．曲线y=2sinx+cosx在点（π，–1）处的切线方程为
A．B．
C．D．
11．已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．B．
C．D．
12．设F为双曲线C：
（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．B．
C．2D．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：
BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
18．（12分）
已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19．（12分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
的分组
企业数
2
24
53
14
7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：
.
20．（12分）
已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
21.（12分）
已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（二）选考题：
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
1．C2．D3．A4．B5．A6．D
7．B8．A9．D10．C11．B12．A
13．914．0.9815．16．
17．解：
（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，
故.
又，所以BE⊥平面.
（2）由
（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，故AE=AB=3，.
作，垂足为F，则EF⊥平面，且.
所以，四棱锥的体积.
18．解：
（1）设的公比为q，由题设得
，即.
解得（舍去）或q=4.
因此的通项公式为.
（2）由
（1）得，因此数列的前n项和为.
19.解：
（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为.
产值负增长的企业频率为.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.
（2），
，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
20.解：
（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.
（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，，，即，①
，②
，③
由②③及得，又由①知，故.
由②③得，所以，从而故.
当，时，存在满足条件的点P.
所以，的取值范围为.
21.解：
（1）的定义域为（0，+）.
.
因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，
，故存在唯一，使得.
又当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，存在唯一的极值点.
（2）由
（1）知，又，所以在内存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
22．解：
（1）因为在C上，当时，.
由已知得.
设为l上除P的任意一点.在中，
经检验，点在曲线上.
所以，l的极坐标方程为.
（2）设，在中，即..
因为P在线段OM上，且，故的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为.
23．解：
（1）当a=1时，.
当时，；当时，.
所以，不等式的解集为.
（2）因为，所以.
当，时，.
所以，的取值范围是.
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