解一元二次方程教学设计.docx

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解一元二次方程教学设计

解一元二次方程教学设计

教学设计思想

解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。

为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。

我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。

在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。

如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。

在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。

教学目标

知识与技能：

1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。

2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。

过程与方法：

1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。

情感态度价值观：

在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。

教学重难点

重点：

掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。

难点：

根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

教学方法

探索发现，讲练结合

教学媒体

多媒体

课时安排

4课时

教学过程设计

第一课时

一、复习引入：

1．一元二次方程的一般形式是什么？

其中a应具备什么条件？

2．是一元二次方程吗？

其中二次项的系数，一次项的系数，常数项各是什么？

（是。

二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－4）

3．解下列方程：

（1）x2=4

（2）（x+3）2=9

学生依次回答上述问题。

师总结强调：

（1）象这种通过直接开平方求得x的值的方法，实际上就是求x2=a（a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解方法。

（2）对于形如“（x+a）2=b（b≥0）”型的方程，只要把x+a看作一个整体，就可以转化为x2=b（b≥0）型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。

（3）在对方程（x+3）2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。

要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。

“降次”也是一种数学方法

二、试着做做

1．如果（x+2）2=9，那么x=_______________。

2．如果（x-3）2=7，那么x=_______________。

3．完全平方公式是什么？

4．如果x2+2x+1=4，那么x=_______________。

学生独立求解

5．对于x2+2x-3=0这样的方程，该怎样求解呢？

能否经过适当变形，将方程转化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式，然后应用直接开平法求解呢？

你能总结出你解这个方程的步骤吗？

学生活动：

小组讨论，利用完全平方公式及上述提示寻求解法，将x2+2x-3=0变形为x2+2x+1=4，即（x+1）2=4。

并总结出解方程x2+2x-3=0的一种方法：

三、做一做

把下列方程化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式，并求出它们的解。

（1）x2+2x=48；

（2）x2-4x=12；

（3）x2-6x+6=0；（4）。

学生活动：

初步体验用配方法解一元二次方程的步骤。

例1解方程x2-10x-11=0

该例题师生共同完成，学生通过此题明白每步变形的依据和目的。

然后师生一起总结：

通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配方法。

四、练习：

1．配方：

填上适当的数，使下列等式成立：

（1）x2+12x+=（x+6）2

（2）x2―12x+=（x―）2

（3）x2+8x+=（x+）2

2．解方程：

课本P34练习

五、小结

这节课你的收获是什么？

六、作业

课本P341，2，3

七、板书设计

解一元二次方程——配方法

x2=a（a≥0）试着做做做一做例1练习

直接开平方法

x2+bx+c=0

配方法

第二课时

一、复习引入

上节课我们学习了解一元二次方程的什么方法？

解下列方程：

（1）x2-6x+4=0

（2）x2+4x-16=0

今天我们一起来学习方程的二次项系数不是1的一元二次方程。

二、做一做

解方程3x2-32x-48=0

师：

引导学生观察，此方程和上节课方程进行比较有什么不同，能否转化成二次项系数为1的形式。

学生独立思考，积极探究，解答题目。

解：

略。

见课本P35

师：

请同学们总结用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

学生小组讨论，相互交流自己的想法。

利用配方法解一元二次方程，其一般步骤为：

A．先把方程整理为一般形式

B．用二次项系数去除方程两边，把二次项系数化为1

C．把常数项移到方程的右边（移项）

D．方程两边各加上一次项系数一半的平方，把方程化为（的形式（配方）

E．利用直接开方法求得方程的解（当右边是负数时，方程无解）

三、练一练

解下列方程

（1）x2-4x=12；

（2）3x2+2x-5=0；

（3）2y2+y-6=0；（4）2x2+5x+1=0

四、实际应用

例3有一张长方形桌子，它的长为2m，宽为1m。

有一块长方形台布，它的面积是桌面面积的2倍，将台布铺在桌面上时，各边垂下的长相等。

求这块台布的长和宽（均精确到0.01m）。

小组讨论：

（1）题目中有哪些等量关系？

（2）如何设未知数？

根据你所设的未知数列出一元二次方程，并解答。

（3）算出的x值都可取么？

为什么

老师引导学生注意验证方程的解的合理性，并对学习困难的学生给予及时的点拨和引导。

通过此题我们发现在解决实际问题时，设未知数要灵活选择，同时注意检验方程的解是否符合题意，从而确定实际问题的答案。

五、小结

1．配方法的基本步骤。

2．配方法是一种重要的数学方法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。

3．在解决实际问题时，要注意检验方程的解是否符合题意。

六、作业

课本P371，2

五、板书设计

配方法

（2）

配方法的一般步骤例2例3练习

第三课时

一、导入新课：

1．配方法的步骤是什么？

学生回答：

（1）将方程二次项系数化成1；

（2）移项；（3）配方；（4）化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式；（5）用直接开平方法求得方程的解。

2．用配方法解方程：

2x2+7x=4

解：

系数化成1，得：

x2+

配方，得：

（x+

开平方，得：

学生活动：

用配方法解一元二次方程。

师：

直接开平方法解一元二次方程有一定的局限性，必须符合直接开平方的条件才能利用直接开平方法；配方法虽然对任意一个一元一次方程都适用，但每做一题都要配方一次，显得比较麻烦，所以我们就产生了推导一个公式来求一元二次方程的解的想法。

二、一起探究

用配方法解方程：

ax2+bx+c=0（a

学生活动：

自主探究，按照配方法的步骤逐步求解。

解：

系数化成1，（两边同除以a）得：

移项（把常数项移到方程右边），得：

配方（两边同时加上），得：

化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式，得：

师：

接着让学生讨论：

此时可以用开平方法求解吗？

让学生充分发表意见后，教师指出：

因为，所以，当时，可以用开平方法得

再让学生讨论吗？

（学生讨论，教师讲解：

但因为式子前面已有符号“±”，所以无论还是，最终结果总是）

所以，

这样我们就得到了一元二次方程（）的求根公式：

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

说明：

（1）用公式法解一元二次方程，实际上就是给出、、的数值，然后求代数式：

进行求值的运算。

由于这样的计算较复杂，所以要提醒学生计算时注意、、的符号，讲究计算的正确性。

（2）在运用求根公式求解时，应先计算的值；当≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数根；当<0时，方程没有实数根。

三、知识应用

例解方程4x2+x-3=0

解：

这里a=4，b=1，c=-3

∵b2-4ac=12-4×4×（-3）=49>0,

∴

即

说明：

师生共同完成，教师规范格式并强调注意事项。

注意:

（1）如果方程不是一般形式，要化为一般形式后，再确定a，b，c的值

（2）对a，b，c的值，要注意其正负符号，如此题中c=-3．

四、课堂训练：

P38练习题

（1）---（4）。

找四名同学上黑板做。

五、小结

1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式，即

求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合运用，对于，≥0，以及由，知等条件在推导过程中的应用，亦要弄懂其道理。

2．应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写成、、的数值以及计算的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程。

六、作业：

课本习题P381，2

七、板书设计

解一元二次方程——公式法

练习：

推导公式：

例练习

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第四课时

一、复习引入

1．一元二次方程的解法，已经学过了哪几种？

（直接开平方法，配方法，求根公式法）

2．对于方程x2-9=0，上述三种解法是不是都可用？

哪一种解法比较简便？

（直接开平方法）

从上面的例子可见，同一个题目可以用多种方法来解，我们应该“因题而宜”，选取一种较好的解法，方法越多，我们选取的可能性就越大.

今天我们再学一种方法，叫做一元二次方程的因式分解法．

二、一起探究

我们以方程x2-9=0为例，这个方程的右边是0，左边可以分解成两个一次因式的乘积即（x+3）（x-3）=0①

我们知道a·b=0a=0或b=0。

语言表述：

如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．

提问：

1．什么叫方程的根？

（使方程左右两边相等的未知数的值）

2．观察什么数是方程①的根？

即什么数使方程①的左边乘积为零？

（使x+3等于0或使x-3等于0）.注意用或字，意思是两个因式中有一个等于0就可使乘积为0，不必要两个因式同时为0.因此我们可以得到x=-3或x=3，即x1=-3，x2=-3

像这样，把一元二次方程的一边划为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解。

三、做一做

用因式分解法解下列方程：

学生独立运用因式分解法完成求解过程，老师对学生困难的学生给与帮助。

例用因式分解法解下列方程：

（1）3（x-1）2=2（x-1）;

（2）（x+5）2=49.

分析：

这两个方程有什么特点？

（可以把x-1和x+5分别看作整体）

解：

（1）原方程可化为

3（x-1）2-2（x-1）=0

（x-1）（3x-5）=0

得x-1=0，或3x-5=0

所以

（2）原方程可化为

（x+5）2-72=0

（x+12）（x-2）=0.

得x+12=0,或x-2=0