三角形中位线定理的证明Word下载.doc

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C

A

D

E

关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。

笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。

已知：

如图1，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，求证：

DE∥BC且

证法一、（构造法）如图2，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、CF、

DC

图2

F

∵E为AC中点∴AE=CE∵EF=DE∴四边形ADCF为平行四边形∴CFAD∵D为AB中点∴AD=BD∴BDCF∴四边形DBCF为平行四边形

∴DFBC∴DE=EF∴DE∥BC且

证法二、（构造法）如图3，过CF作CF∥AB交DE的延长线于F，则

图3

∠A=∠ACF∵E为AC中点∴AE=CF

∴△ADE≌△CFE（ASA）∴CF=AD∵D为AB中点

∴AD=BD∴CF=BD∵CF∥BD∴CFBD

∴四边形DBCF为平行四边形∴DFBC∴△ADE≌△CFE∴DE=EF∴DE∥BC且

图4

E′

证法三、（同一法）如图4，过D作DE′∥BC，交AC于E′，过E′作E′F∥AB，交BC于F，则

图5

∠B=∠ADE′=∠E′FC，∠AE′D=∠C四边形DBFE′是平行四边形∴E′F=BD∵D为AB中点∴AD=BD∴E′F=AD∴△ADE′≌△E′FC（AAS）∴AE′=CE′即E′为AC中点∵E为AC中点

∴E与E′重合即DE∥BC，△ADE≌△EFC，四边形DBFE为平行四边形∴DE=CFDE=BF

即∴DE∥BC且

证法四、（相似法）如图5，

∵D、E分别为AB、AC中点∴∵∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC∴∠ADE=∠B

∴DE∥BC且

图6

G

证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC的中点E为中心，将△ABC绕点E旋转180°

得△ACF，取CF中点G，连结EG、DG，则四边形ABCF为平行四边形

∴AFBC∵D、G分别为AB、CF的中点∴ADFG∴四边形ADGF为平行四边形

∴DGAFBC∵CF∥AB∴∠DAE=∠GCE∴△ADE≌△CGE（SAS）

∴∠AED=∠CEG∴D、E、G在一条直线上∴DE∥BC∵△ADE≌△CGE

H

图7

M

∴DE=EG∴∴DE∥BC且

证法六、（面积法）如图7，取BC中点F，连结AF、EF，分别过A、E作

AH⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为H、G，过D作DM⊥BC于M，则

∴∵F为BC中点∴

同理∴DMEG∴四边形DMGE为矩形

O

（B）

图8

∴DE∥BC同理EF∥AB∴四边形DBFE为平行四边形

∴DE=BF∵∴DE∥BC且

证法七、（解析法）如图8，以点B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨设A（a，b）C（c，0）（c＞0）则，D（），E（）

则DE∥x轴，DE=∵BC=c∴DE∥BC且

证法八、（三角法）如图9，取BC中点F，连结EF，设AB=2c，AC=2b

BC=2a，∠A=α则AD=c，AE=b，在△ADE中，

在△ABC中，

图9

∴∴BC=2DE∵F为BC的中点

∴DE=BF同理EF=BD∴四边形DBFE为平行四边形

∴DE∥BF即DE∥BC且