数据结构详细教案图Word格式.docx
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v的出度:
以v为弧尾的弧的数目;
v的入度与出度之和。
路径、回路(环)、简单路径、简单回路(简单环)
连通性:
若从顶点v到顶点v’有路径,则称v和v’是连通的
图的规模:
顶点数n、边(弧)数e、顶点的度(有向图:
入度/出度)
子图:
G’=(V’,{E’}),G=(V,{E}),若V’⊆V且E’⊆E,则称G’是G的子图。
图的分类:
1)关系的方向性(无向/有向)、关系上是否有附加的数——权(图/网)
有向图、无向图、有向网、无向网
2)边(弧)数:
完全图(边数=n(n-1)/2的无向图)、有向完全图(弧数=n(n-1)的有向图)
稀疏图(e<
nlogn)、稠密图(e>
nlogn)
3)连通性:
连通图(任意两顶点都是连通的)、连通分量(极大连通子图)、生成树(极小连通子图)、生成森林
强/弱连通图、强连通分量、生成树(极小连通子图)、生成森林
3、抽象数据类型定义
ADTGraph{
数据对象V:
V是具有相同特性的数据元素的集合,称为顶点集。
数据关系R:
R={VR}
VR={<
|v,w∈V且P(v,w),<
v,w>
表示从v到w的弧,谓词P(v,w)定义了弧<
的意义或信息}
基本操作:
CreateGraph(&
G,V,VR)
初始条件:
V是图的顶点集,VR是图中弧的集合
操作结果:
按V和VR的定义构造图G
DestroyGraph(&
G)
图G存在
销毁图G
LocateVex(G,u)
图G已存在,u和G中顶点有相同特征
若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置,否则返回其它信息
GetVex(G,v)
图G存在,v是G中某个顶点
返回v的值
PutVex(&
G,v,value)
对v赋值value
FirstAdjVex(G,v)
返回v的第一个邻接顶点。
若顶点在G中没有邻接顶点,则返回“空”
NextAdjVex(G,v,w)
图G存在,v是G中某个顶点,w是v的邻接顶点
返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点。
若w是v的最后一个邻接点,则返回“空”
InsertVex(&
G,v)
图G存在,v和G中顶点有相同特征
在图中增添新顶点v
DeleteVex(&
删除G中顶点v及其相关的弧
InsertArc(&
G,v,w)
图G存在,v和w是G中两个顶点
在图G中增添弧<
,若G是无向的,则还应增添对称弧<
w,v>
DeleteArc(&
删除G中的弧<
,若G是无向的,则还应删除对称弧
DFSTraverse(G,v,visit())
图G存在,v是G中某个顶点,visit是对顶点的应用函数
从顶点v起深度优先遍历图G,并对每个顶点调用函数visit()一次且至多一次。
一旦visit()失败,则操作失败
BFSTraverse(G,v,visit())
从顶点v起广度优先遍历图G,并对每个顶点调用函数visit()一次且至多一次。
}ADTGraph
7.2图的存储和创建
7.2.1图的存储表示
1、图的存储表示分析
∵顶点之间的关系是多对多的(m:
n),由于m和n都是不定的,无法给出一个这种多对多的关系向线性关系的映射公式
∴图中的关系不能通过顺序映像(即通过顶点之间的存储位置反映顶点之间的逻辑关系)反映;
必须另外引入存储空间反映顶点之间的邻接关系。
图的存储结构:
1)顶点信息;
2)边(弧)信息;
3)整体信息:
顶点数、边(弧)数、图的种类(有向图、无向图、有向网、无向网)
顶点集的存储:
∵图的应用中,顶点集动态变化的几率十分小
∴顶点集可以采用顺序表存储,按预先估计的最大顶点数分配空间
(顺序表和链表:
若数据元素集是静态的,采用顺序表要好(随机存取);
若数据元素集是动态的,则采用链表要好(动态分配与释放))
#defineMAX_VERTEX_NUM20/*最大顶点数*/
注意:
顺序表与顺序映像之间的区别
关系集的存储:
在顶点确定的情况下,边或弧的数目也是不定的;
且在实际应用中,可能会改变图中顶点之间的关系。
邻接矩阵表示法:
矩阵中的第i行第j列的元素反映图中第i个顶点到第j个顶点是否存在弧;
若存在,其附加的信息是什么。
邻接表表示法:
将每一顶点的邻接点位置串成一个链,称为邻接表。
对于有向图/网来说,该邻接表反映的是顶点的出边表。
typedefenum{DG,DN,AG,AN}GraphKind;
/*{有向图,有向网,无向图,无向网}*/
2、邻接矩阵表示法(数组表示法)
无向图/网:
对称矩阵有向图/网:
非必是对称矩阵
图:
邻接关系用1/0表示
网:
邻接关系需要进一步反映权值,用INFINITY表示无穷大,反映顶点之间无邻接关系
#defineINT_MAX32767/*最大整数*/
#defineINFINITYINT_MAX
1)邻接矩阵
typedefstructArcCell{
intadj;
//顶点间关系,无权图:
0-不相邻,1-相邻
//有权图,权值,INFINITY-不相邻
InfoType*info;
//该弧相关信息的指针
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
2)图的整体结构
typedefstruct{
VertexTypevexs[MAX_VERTEX_NUM];
/*有效的顶点下标从0开始*/
AdjMatrixarcs;
/*关系集*/
intvexnum,arcnum;
/*顶点数、边/弧数*/
GraphKindkind;
/*图的种类*/
}MGraph;
3、邻接表表示法
边表,表结点的个数为边数的两倍
有向图/网:
出边表,表结点的个数为弧数
1)邻接表的表结点
typedefstructArcNode{
intadjvex;
/*弧所指向的顶点的位置*/
structArcNode*nextarc;
/*指向下一条弧的指针*/
InfoType*info;
}ArcNode;
2)邻接表的头结点
typedefstructVNode{
VertexTypedata;
/*顶点信息*/
ArcNode*firstarc;
/* 邻接表指针*/
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
3)图的整体结构
AdjListvertices;
}ALGraph;
4、邻接矩阵与邻接表的对比
假设图为G,顶点数为n,边/弧数为e。
A邻接矩阵
B邻接表
存储空间
O(n+n2)
O(n+e)
图的创建算法
T1(n)=O(e+n2)或T2(n)=O(e*n+n2)
T1(n)=O(n+e)或T2(n)=O(e*n)
T1(n)是指在输入边/弧时,输入的顶点信息为顶点的编号;
而T2(n)则指在输入边/弧时,输入的为顶点本身的信息,此时需要查找顶点在图中的位置
无向图中求第i顶点的度
(第i行之和)或
(第i列之和)
G.vertices[i].firstarc所指向的邻接表包含的结点个数
无向网中求第i顶点的度
第i行/列中adj值不为INFINITY的元素个数
有向图中求第i顶点的入/出度
入度:
(第i列)
出度:
(第i行)
扫描各顶点的邻接表,统计表结点的adjvex为i的表结点个数T(n)=O(n+e)
有向网中求第i顶点的入/出度
第i列中adj值不为INFINITY的元素个数
第i行中adj值不为INFINITY的元素个数
统计边/弧数
)
无向网:
G.arcs中adj值不为INFINITY的元素个数的一半
有向网:
G.arcs中adj值不为INFINITY的元素个数
图中表结点数目的一半
图中表结点的数目
结论:
邻接矩阵适于稠密图的存储,邻接表适于稀疏图的存储;
邻接表求有向图的顶点的入度不方便,要遍历各个顶点的邻接表。
7.2.2图的创建
基本过程:
1)输入图的类型,根据类型选择相应的创建算法
2)输入图的顶点数,边/弧数
3)输入并存储顶点信息
4)输入边/弧所关联的顶点对,将边或弧的信息存储到邻接矩阵/邻接表中
图的存储结构不同、图的类型不同,都会影响创建算法的实现细节;
但是,图的总体创建流程是一致的(如上)。
示例:
用邻接矩阵表示法构造有向网G
StatusCreateMDG(MGraph&
G){
/*步骤2:
输入图的顶点数、边/弧数*/
scanf(&
G.vexnum,&
G.arcnum,&
IncInfo);
/*IncInfo为0则各弧不含其它信息*/
/*步骤3:
输入并存储顶点信息*/
for(i=0;
i<
G.vexnum;
i++)scanf(&
G.vexs[i]);
/*步骤4:
输入并存储边/弧信息*/
for(i=0;
i<
G.vexnum;
i++)/*邻接矩阵初始化*/
for(j=0;
j<
j++)
G.arcs[i][j]={INFINITY,NULL};
for(k=0;
k<
G.arcnum;
k++){
v1,&
v2,&
w);
i=LocateVex(G,v1);
j=LocateVex(G,v2);
G.arcs[i][j].adj=w;
if(IncInfo)Input(*G.arcs[i][j].info);
/**G.arcs[i][j].info要求G.arcs[i][j].info指向的空间在调用I