详细解析1991年全国高考数学理科Word格式.docx
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A.垂心B.重心C.外心D.内心
【答案】D
【解析】由题设可知点到三边的距离相等,所以是的内接圆的圆心.
7.已知是等比数列,且,那么的值等于
A.5B.10C.15D.20
【解析】设公比为,则由题设可得,即,则
,即.
8.如果圆锥曲线的极坐标方程为,那么它的焦点的极坐标为
A.B.C.D.
【解析】曲线是椭圆,当时得时得,∴,故焦点的极坐标为.
9.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有
A.140种B.84种C.70种D.35种
【答案】C
【解析】直接法:
.
间接法:
10.如果且,那么直线不通过
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】,由于且,所以,故D正确.
11.设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;
丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件.那么
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
【解析】由题意,乙甲,丙乙,但乙丙,从而可得甲丙,丙甲.
12.的值等于
A.0B.1C.2D.3
【解析】
13.如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5,那么在区间上
是
A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为
C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为
【答案】B
【解析】若,则,是增函数的最大值为
14.圆上到直线的距离为的点共有
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】圆的标准方程为,圆心到直线的距离为,故与直线平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个.
15.设全集为,,,那
么集合等于
A.B.C.D.
【解析】由题设,则,
二.填空题:
本大题共5小题;
每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.
16.的值是.
【答案】
【解析】由于,所以.
17.不等式的解集是.
【解析】,得,解得解集是.
18.已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是,那么这个正三棱台的体积等于.
【解析】延长正三棱台的三条母线,交于一点,可得一个正三棱锥,根据比例关系可得棱台的高为,故正三棱台的体积为.
19.在的展开式中,的系数是的系数与的系数的等差中项.若实数,
那么.
【解析】由题设可得的系数分别为,则
,化简得,由于,所以.
20.在球面上有四个点,如果两两互相垂直,且,
那么这个球面的面积是.
【解析】因为球的直径等于以为棱的长方体的对角线的长,从而,故球面的面积为.
三.解答题:
本大题共6小题;
共60分.
21.(本小题满分8分)
求函数的最小值,并写出使函数取最小值的的集合.
【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分.
——1分
——3分
.——5分
当时取得最小值.——6分
使取最小值的的集合为.——8分
22.(本小题满分8分)
已知复数,求复数的模和辐角的主值.
【解】本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.
——2分
.——4分
的模.
因为对应的点在第四象限且辐角的正切,
所以辐角的主值.——8分
23.(本小题满分10分)
已知是边长为4的正方形,分别是的中点,垂直于所在的平面,且.求点到平面的距离.
【解】本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.
如图,连结,分别交于.因为是正方形,分别为和的中点,故,为的中点.
不在平面上.否则,平面和平面重合,从而点在平面上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知平面,所以和平面的距离就是点到平面的距离.——4分
∵,∴.
∵平面,∴,
∴平面.
∴平面平面,是这两个垂直平面的交线.——6分
作交于点,由两平面垂直的性质定理知平面,所以线段的长就是点到平面的距离.——8分
∵正方形的边长为4,,
∴.
∴在中,.
由于和有一个锐角是公共的,故.
∴.
即点到平面的距离为.——10分
注:
未证明“不在平面上”不扣分.
【编者注】本题用“等积代换”,即亦可.
24.(本小题满分10分)
根据函数单调性的定义,证明函数在上是减函数.
【解】本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.满分10分.
证法一:
在上任取且,——1分
则——3分
∵,∴.——4分
当时,有;
——6分
∴.——8分
即.
所以,函数在上是减函数.——10分
证法二:
在上任取且,——1分
则.——3分
∵不同时为零,∴.
又∵,∴,
∴.——8分
所以,函数在上是减函数.——10分
25.(本小题满分12分)
已知为自然数,实数,解关于的不等式
【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.满分12分.
利用对数换底公式,原不等式左端化为
故原不等式可化为.①
当为奇数时,,不等式①等价于.②
因为,②式等价于
——6分
因为,,
所以,不等式②的解集为.——8分
当为偶数时,,不等式①等价于.③
因为,③式等价于
或——10分
因为——12分
所以,不等式③的解集为.
综合得:
当为奇数时,原不等式的解集是;
当为偶数时,原不等式的解集是.
26.(本小题满分12分)
双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点.若,求双曲线的方程.
【解】本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.满分12分.
解法一:
设双曲线的方程为.
依题意知,点的坐标满足方程组
将②式代入①式,整理得.③——3分
设方程③的两个根为,若,则,
即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,
故与双曲线只能有一个交点,与题设矛盾,所以.
根据根与系数的关系,有——6分
由于在直线上,可记为.
由得,
整理得.⑥
将④,⑤式及代入⑥式,并整理得,
因为,解得,
所以.——8分
由,得.
整理得.⑦
将④,⑤式及,代入⑦式,解得.——10分
将代入得.
故所求双曲线方程为.——12分
解法二:
④式以上同解法一.——4分
解方程③得,④——6分
由,得.⑤
将④式及代入⑤式并整理得,
因,解得.——8分
即.⑥
将④式代入⑥式并整理得.——10分
将代入上式,得,
将代入得.
1991年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.
二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;
如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.
三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.
四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
五、只给整数分数.