届高考数学二轮专题复习培优训练 定点定值存在性问题Word文档下载推荐.docx

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0）的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是（　B　）

A．1B．

C．D．2

[解析]　∵

∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，

设∠F1PF2＝θ，

∴cosθ＝＝，

∴S2△PF1F2＝（×

4a×

2a×

sinθ）2

＝16a4（1－）

＝－9（a2－）2≤，

当且仅当a2＝时，等号成立，故S△PF1F2的最大值是．

4．（2017·

云南统检）已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且·

＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么||·

||＝（　B　）

A．21B．14

C．7D．0

[解析]　设双曲线方程为－＝1（a>

0），

∵直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，

∴＝，①

又抛物线的准线为x＝－4，∴c＝4②

又a2＋b2＝c2.③

∴由①②③得a＝3．

设点P为双曲线右支上一点，

∴由双曲线定义得＝6④

又·

＝0，

∴⊥，

∴在Rt△PF1F2中||2＋||2＝82⑤

联立④⑤，解得||·

||＝14．

5．已知直线y＝k（x＋2）（k＞0）与抛物线C：

y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为（　D　）

A．B．

C．D．

[解析]　设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1>

0，x2>

0，

∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1＋2＝2x2＋4，

∴x1＝2x2＋2．

由，得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，

∴x1x2＝4，x1＋x2＝＝－4．

由，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，

∴－4＝5，∴k2＝，k＝．

6．（文）已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为（1,2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（　C　）

A．（，）B．（，）

C．（，）D．（，1）

[解析]　设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为（1,2），所以1<

<

2，∴<

c<

，∵椭圆的离心率e＝＝＝1－，且<

1－<

，∴该椭圆的离心率的取值范围是（，）．

（理）（2016·

四川卷，8）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p>

0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM斜率的最大值为（　C　）

C．D．1

[解析]　设P（，t），则F（，0），则由|PM|＝2|MF|，得M（，），当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C．

7．（2017·

河南洛阳统考）已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2（a>

0）的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为__x＝－2__.

[解析]　将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2．

8．（2017·

南昌一模）已知抛物线C：

x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则·

的最小值为__－14__.

[解析]　由题意知F（0,1），所以过点F且斜率为1的直线方程为y＝x＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4＝0，解得x＝2±

2，所以可取M（2－2，3－2），N（2＋2，3＋2），因为l∥MN，所以可设l的方程为y＝x＋m，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4m＝0，又直线l与抛物线相切，所以Δ＝（－4）2－4（－4m）＝0，所以m＝－1，l的方程为y＝x－1.设点P（x，x－1），则＝（2－x－2，4－x－2），＝（2－x＋2，4－x＋2），·

＝（2－x）2－8＋（4－x）2－8＝2x2－12x＋4＝2（x－3）2－14≥－14．

9．（2017·

石家庄质检）设抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝__8__.

[解析]　依题意作出图象如图所示，

设l：

x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得，

y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝·

＝1，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2＝4m2＋2．

∵tan∠AMB＝tan（∠AMF＋∠BMF），

∴＝2，

＝2，

y1－y2＝4m2，

∴4＝4m2，m2＝1，

∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝4m2＋4＝8．

10．（文）已知圆M：

x2＋（y－2）2＝1，直线l：

y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.

（1）求E的方程；

（2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·

＝－16，求证：

直线AB恒过定点．

[解析]　

（1）⊙O的圆心M（0,2），半径r＝1，设动圆圆心P（x，y），由条件知|PM|－1等于P到l的距离，

∴|PM|等于P到直线y＝－2的距离，∴P点轨迹是以M（0,2）为焦点，y＝－2为准线的抛物线．

方程为x2＝8y．

（2）设直线AB：

y＝kx＋b，A（x1，y1），B（x2，y2）

将直线AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，

又因为·

＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4

所以直线BC恒过定点（0,4）．

（理）（2017·

青岛检测）已知点F（1,0），直线l：

x＝－1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离.

（1）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；

（2）是否存在过N（4,2）的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？

[解析]　

（1）因为P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x．

（2）解法一：

假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），

依题意，得

①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x＝4，

由得y＝±

4与y1＋y2＝4矛盾，不合题意．

②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y－2＝k（x－4），联立方程组

消去y，得k2x2－（8k2－4k＋4）x＋（2－4k）2＝0，（*）

∴x1＋x2＝＝8，解得k＝1．

此时，方程（*）为x2－8x＋4＝0，其判别式大于零，

∴存在满足题设的直线m．

且直线m的方程为：

y－2＝x－4，即x－y－2＝0．

解法二：

易判断直线m不可能垂直于y轴，

∴设直线m的方程为x－4＝a（y－2），

联立方程组

消去x，得y2－4ay＋8a－16＝0，

∵Δ＝16（a－1）2＋48>

∴直线与轨迹C必相交．

又y1＋y2＝4a＝4，∴a＝1．

∴存在满足题设的直线m，

解法三：

假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2），

∵A（x1，y1），B（x2，y2）在轨迹C上，

∴有由①－②得，y－y＝4（x1－x2）．

当x1＝x2时，弦AB的中点不是N，不合题意，

∴＝＝1，即直线AB的斜率k＝1，

注意到点N在曲线C的张口内（或：

经检验，直线m与轨迹C相交），

∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：

B组

1．如图，椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0）经过点A（0，－1），且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）经过点（1,1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：

直线AP与AQ的斜率之和为2．

[解析]　（Ⅰ）由题意知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以，椭圆的方程为＋y2＝1．

（Ⅱ）证明：

由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x－1）＋1（k≠2），代入＋y2＝1，得（1＋2k2）x2－4k（k－1）x＋2k（k－2）＝0．

由已知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，

则x1＋x2＝，x1x2＝．

从而直线AP与AQ的斜率之和

kAP＋kAQ＝＋

＝＋

＝2k＋（2－k）

＝2k＋（2－k）×

＝2k－2（k－1）

＝2．

2．设椭圆E：

＋＝1的焦点在x轴上.

（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（2）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：

当a变化时，点P在某条定直线上．

[解析]　

（1）因为椭圆E的焦点在x轴上，焦距为1，

所以2a2－1＝，解得a2＝．

故椭圆E的方程为＋＝1．

（2）设P（x0，y0），F1（－c,0），F2（c,0），

其中c＝.由题设知x0≠c，

则直线F1P的斜率kF1P＝．

直线F2P的斜率kF2P＝．

故直线F2P的方程为y＝（x－c）．

当x＝0时，y＝，即点Q坐标为（0，）．

因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝．

由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·

kF1Q＝·

＝－1．

化简得y＝x（2a2－1）．①

将①代入椭圆E的方程，由于点P（x0，y0）在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．

3．（文）设点P是曲线C：

x2＝2py（p>

0）上的动点，点P到点（0,1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.

（1）求曲线C的方程；

（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，