基本不等式求最值的类型与方法经典大全.docx

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基本不等式求最值的类型与方法经典大全

基本不等式求最值的类型与方法-经典大全

过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

类型Ⅱ：

求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：

①②

解析：

①，

∴，

当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

②，则，欲求y的最大值，可先求的最大值。

当且仅当，即时“=”号成立，故此函数最大值是。

评析：

利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

类型Ⅲ：

用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x、y，求的最小值。

解法一：

（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。

证明：

任取且，则

，

∵，∴，则，

即在上是减函数。

故当时，在上有最小值5。

解法二：

（配方法）因，则有，

易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，

即在上是减函数，当时，在上有最小值5。

解法三：

（拆分法），

当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：

求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

类型Ⅳ：

条件最值问题。

例4、已知正数x、y满足，求的最小值。

解法一：

（利用均值不等式）,

当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：

（消元法）由得，由，则。

当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法三：

（三角换元法）令则有

则：

，易求得时“=”号成立，故最小值是18。

评析：

此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：

。

原因就是等号成立的条件不一致。

类型Ⅴ：

利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数满足，试求、的范围。

解法一：

由，则，

即解得，

当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。

又，

当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。

解法二：

由，知，

则：

，由，

则：

，

当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。

，

当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。

评析：

解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。

四、均值不等式易错例析：

例1.求函数的最值。

错解：

当且仅当即时取等号。

所以当时，y的最小值为25，此函数没有最大值。

分析：

上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。

因为函数的定义域为，所以须对的正负加以分类讨论。

正解：

1）当时，

当且仅当即时取等号。

所以当时，

2）当时，，

当且仅当，即时取等号，所以当时，.

例2.当时，求的最小值。

错解：

因为

所以当且仅当即时，。

分析：

用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中与的积不是定值，导致错误。

正解：

因为

当且仅当，即时等号成立，所以当时，。

例3.求的最小值。

错解：

因为，所以

分析：

忽视了取最小值时须成立的条件，而此式化解得，无解，所以原函数取不到最小值。

正解：

令，则

又因为时，是递增的。

所以当，即时，。

例4.已知且，求的最小值.

错解：

,的最小值为.

分析：

解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为和，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值.

正解：

当且仅当即时等号成立.的最小值为.

综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要正：

各项或各因式必须为正数；

二可定：

必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：

要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

技巧一：

凑项

例1：

已知，求函数的最大值。

解：

因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，，

当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

技巧二：

凑系数

例2.当时，求的最大值。

解析：

由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。

技巧三：

分离

例3.求的值域。

解：

本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

技巧四：

换元

解析二：

本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

技巧五：

在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。

例：

求函数的值域。

解：

令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

技巧六：

整体代换：

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

。

2：

已知，且，求的最小值。

解：

，

当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。

巩固练习：

1、已知：

且，则的最大值为（）

（A）（B）（C）（D）

2、若，且恒成立，则a的最小值是（）

（A）（B）（C）2（D）1

3、已知下列不等式：

①；②；

③.其中正确的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

4、设，则下列不等式中不成立的是（）

（A）（B）（C）（D）

5、设且的最大值是（）

（A）（B）（C）（D）

6、若实数满足，则的最小值是（）

（A）18（B）6（C）（D）

7、若正数满足，则的取值范围是.

8、若,且，则的最小值为.基本不等式

知识点：

1.

（1）若，则

（2）若，则（当且仅当时取“=”）

2.

（1）若，则

（2）若，则（当且仅当时取“=”）

（3）若，则（当且仅当时取“=”）

3.若，则（当且仅当时取“=”）

若，则（当且仅当时取“=”）

若，则（当且仅当时取“=”）

4.若，则（当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）

5.若，则（当且仅当时取“=”）

注意：

（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：

求最值

例：

求下列函数的值域

（1）y＝3x2＋

（2）y＝x＋

解：

（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域为[，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；

当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：

凑项

例已知，求函数的最大值。

解：

因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，

，

当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

技巧二：

凑系数

例：

当时，求的最大值。

解析：

由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。

变式：

设，求函数的最大值。

解：

∵∴∴

当且仅当即时等号成立。

技巧三：

分离

技巧四：

换元

例：

求的值域。

解析一：

本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：

本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

技巧五：

在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。

例：

求函数的值域。

解：

令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

技巧六：

整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

。

例：

已知，且，求的最小值。

错解：

，且，故。

错因：

解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：

，

当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。

技巧七

例：

已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.

分析：

因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

同时还应化简中y2前面的系数为，x＝x＝x·

下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝即x＝·x≤

技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

分析：

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：

a＝，ab＝·b＝

由a＞0得，0＜b＜15

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8

∴ab≤18∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：

由已知得：

30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2　∴30－ab≥2

令u＝　则u2＋2u－30≤0，－5≤u≤3

∴≤3，ab≤18，∴y≥

点评：

①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.

技巧九、取平方

例:

求函数的最大值。

解析：

注意到与的和为定值。

又，所以

当且仅当=，即时取等号。

故。

应用二：

利用均值不等式证明不等式

例：

已知a、b、c，且。

求证：

分析：

不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。

解：

a、b、c，。

。

同理，。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

。

当且仅当时取等号。

应用三：

均值不等式与恒成立问题

例：

已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

解：

令，

。

，

应用四：

均值定理在比较大小中的应用：

例：

若

，则的大小关系是.

分析：

∵∴

（

∴R>Q>P。