行列式的计算技术与方式总结.docx

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行列式的计算技术与方式总结

计算技术及方式总结

一、一样来讲，关于二阶、三阶行列式，能够依照概念来做

一、二阶行列式

二、三阶行列式

=

例1计算三阶行列式

解

可是关于四阶或以上的行列式，不建议采纳概念，最常采纳的是行列式的性质和降价法来做。

但在此之前需要经历一些常见行列式形式。

以便计算。

计算上三角形行列式

下三角形行列式

对角行列式

二、用行列式的性质计算

一、记住性质，这是计算行列式的前提

将行列式的行与列互换后取得的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若

则.

性质1行列式与它的转置行列式相等,即

注由性质1明白，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也一样具有.

性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.

推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同,则此行列式为零.

性质3用数乘行列式的某一行（列）,等于用数乘此行列式,即

第行（列）乘以,记为（或）.

推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子能够提到行列式符号的外面.

推论2行列式中如有两行（列）元素成比例,则此行列式为零.

性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,例如,

.

则

.

性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数后加到另一行（列）对应位置的元素上,行列式不变.

注:

以数乘第行加到第行上,记作;以数乘第列加到第列上，记作.

二、利用“三角化”计算行列式

计算行列式时，经常使用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:

若是第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行互换使得第一列第一个元素不为0;然后把第一行别离乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;

再用一样的方式处置除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积确实是所求行列式的值.

例2若,则

例3

（1）（第一、二行互换）.

（2）（第二、三列互换）

（3）（第一、二两行相等）

（4）（第二、三列相等）

例4

（1）因为第三行是第一行的倍.

（2）因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.

例5若,则

又.

例6设求

解利用行列式性质，有

例7

（1）

（2）.

例8因为而.

因此.

注:

一样来讲下式是不成立的

.

例9

（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.

（2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.

例10计算行列式.

解先将第一行的公因子3提出来：

再计算

例11计算

解

例12计算

解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.

注：

仿照上述方式可取得更一样的结果:

例13计算

解依照行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多.

例14计算

解从第4行开始，后一行减前一行：

三、行列式按行（列）展开（降阶法）

1、行列式按一行（列）展开

概念1在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式,记为,再记

称为元素的代数余子式.

引理（经常使用）一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除外都为零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即

定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

或

推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即

或

2、用降价法计算行列式（经常使用）

直接应用按行（列）展开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算行列式时，一样可先用行列式的性质将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元素,再按此行（列）展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.

3、拉普拉斯定理（一样少用）

概念2在阶行列式中,任意选定行列,位于这些行和列交叉处的个元素,按原先顺序组成一个阶行列式,称为的一个阶子式,划去这行列,余下的元素按原先的顺序组成阶行列式,在其前面冠以符号,称为的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标.

注：

行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.

定理2（拉普拉斯定理）在阶行列式中,任意取定行（列）,由这行（列）组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.

例15求下列行列式的值:

（1）

（2）

解

（1）

（2）

例16计算行列式

解

例17计算行列式

解

例18求证.

证

例19设D中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求及.

解注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即

又按概念知,

例20用拉普拉斯定理求行列式的值.

解按第一行和第二行展开