北京市东城区学年九年级上学期期末数学试题含答案解析文档格式.docx
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二、填空题
9．写出一个二次函数，使其满足：
①图象开口向下；
②当时，随着的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．
10．如图，点在上，弦垂直平分，垂足为．若，则的长为_____．
11．盒中有2个黄球、1个白球，盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是_______．
12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为，则所列的方程应为_______（不增加其它未知数）．
13．在平面直角坐标系中，将抛物线沿着轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________．
14．如图，是等边三角形．若将绕点逆时针旋转角后得到，连接和，则的度数为________．
15．已知抛物线与直线相交于两点，若点的横坐标，则点的横坐标的值为_______．
16．如图1，在中，是边上一动点，设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示．则线段的长为_____，线段的长为______．
三、解答题
17．已知：
如图线段．
求作：
以为斜边的直角，使得一个内角等于30°
．
作法：
①作线段的垂直平分线交于点；
②以点为圆心，长为半径画圆；
③以点为圆心，长为半径画弧，与相交，
记其中一个交点为；
④分别连接．
就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
连接，
是的直径，
_________°
（____________）（填推理的依据）．
是以为斜边的直角三角形．
，
是等边三角形．
_______°
18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，且过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围．
19．如图，平分，作交于点，点在的延长线上，，的延长线交于点．
（1）求证：
；
（2）若，求的值．
20．关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根用含的代数式表示；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且．
①求的取值范围；
②写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根．
21．在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，与直线交于两点（点的横坐标小于点的横坐标）．
（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与双曲线交于点，与直线交于点．当时，写出的取值范围．
22．如图，在中，平分，交于点，以点为圆心，长为半径画．
（1）补全图形，判断直线与的位置关系，并证明；
（2）若，求的半径．
23．在平面直角坐标系中已知抛物线．
（1）若此抛物线经过点，求的值；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点和，且，求的取值范围．
24．在中，于点．
（1）如图1，当点是线段的中点时，
①的长为________；
②延长至点，使得，此时与的数量关系是_______，与的数量关系是_______；
（2）如图2，当点不是线段的中点时，画（点与点在直线的异侧），使，连接．
①按要求补全图形；
②求的长．
25．在平面直角坐标系中，的半径为1．
给出如下定义：
记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．
（1）已知点的坐标为，点在轴上．
①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________；
②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________；
（2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可.
【详解】
∵直角三角形不是中心图形，不符合题意，
∴A选项错误；
∵圆是中心图形，也是轴对称图形，符合题意，
∴B选项正确；
∵等边三角形不是中心图形，是轴对称图形，不符合题意，
∴C选项错误；
∵四边形无法确定其对称性，不符合题意，
∴D选项错误；
故选B.
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟记两种对称图形的定义是解题的关键.
2．A
先确定P点在第一象限，分别画出各个选项的图象判定即可．
解：
∵，
∴点P在第一象限，
如图所示：
只有的图象过第一象限，
故选A．
本题考查了函数的图象，掌握一次函数，二次函数及反比例函数的图象的特点是解题的关键．
3．C
根据方程根的定义，回代原方程中，解关于a的方程求解即可.
∵的方程的一个根是，
∴，
解得a=，
故选C.
本题考查了一元二次方程的根，熟记根的定义是解题关键.
4．B
构造菱形的对角线与面积之间的函数关系式，根据关系式进行判断即可．
设菱形的面积为S，两条对角线的长分别为x、y，则有，
而菱形的面积为定值，即2S为定值，是常数不变，
所以y是x的反比例函数，
故选：
B．
本题考查反比例函数关系，理解反比例函数的意义是正确判断的前提．
5．D
根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；
根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判断；
根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断．
A、△ABC与△A'
B'
C'
关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'
关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'
关于（-，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'
关于原点对称，所以D选项符合题意；
本题考查了中心对称：
把一个图形绕着某个点旋转180°
，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形能够完全重合；
关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
6．B
根据概率的意义列方程求解即可．
由题意得，，
解得．
本题考查概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键．
7．C
连接BA，证明△APB∽△DPC，列比例计算即可.
如图，连接AB，
∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△APB∽△DPC，
∴,
∴需要测量线段AB的长度，
本题考查了圆中三角形的相似，熟练运用同圆或等圆中，同弧或等弧上的圆周角相等是解题的关键.
8．D
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
扇形的弧长是：
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：
=2πr，
即：
R=4r，
R与r之间的关系是R=4r．
D．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：
解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
9．y=-x2-2x-1．
首先由①得到a＜0；
由②得到-≤0；
只要举出满足以上两个条件的a、b、c的值即可得出所填答案．
二次函数y=ax2+bx+c，
①开口向下，
∴a＜0；
②当x＞0时，y随着x的增大而减小，-≤0，即b＜0；
∴只要满足以上两个条件就行，
如a=-1，b=-2，c=-1时，二次函数的解析式是y=-x2-2x-1．
故答案为：
y=-x2-2x-1．
本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
10．
连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
连接OC，
∵弦垂直平分，
∴∠COD=90°
，BD=CD，OD=AD，
∴OD=OA=×
4=2，
∴CD=，
∴BC=2CD=，
本题考查了垂径定理，勾股定理，关键是连接半径OC，构造直角三角形求出CD的长度，题目比较典型，难度适中．
11．
画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出2个球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解即可．
根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球都是白球的有1种，
则取出的2个球都是白球的概率是:
本题考查了列表法与树状图法．利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
12．．
设这种商品的年平均增长率为x，根据题意列方程即可．
设这种商品的年平均增长率为x，
由题意得：
，
本题考查增长率问题，解题的关键是明确题意，根据等量关系列出方程．
13．y=x2+2或y=x2-2．
根据图象的平移规律，可得答案．
将抛物线y=x2沿着y轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y=x2+2；
将抛物线y=x2沿着y轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y=x2-2；
故答案是：
y=x2+2或y=x2-2．
本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：
左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．30°
由旋转的性质得出AC=AC'
，∠CAC'
=α，由
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