高考必备图形的位似和黄金分割Word格式文档下载.docx

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c，那么

=ac（b称为a、c的比例中项）．

要点二、相似三角形

1.相似三角形的判定:

判定方式

（一）：

若是一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

　　要判定两个三角形是不是相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，关于直角三角形而言，假设有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方式

（二）：

若是两个三角形的两组对应边的比相等，而且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

　　此方式要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应历时必需注意那个角必须是两边的夹角，不然，判定的结果可能是错误的.

判定方式（三）：

若是两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

2.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要专门注意“对应”两个字，在应历时，要注意找准对应线段.

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点三、中位线

1．三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

性质：

三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半.

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因此每一个小三角形的周长为原三角形周长的

，每一个小三角形的面积为原三角形面积的

.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

2．梯形的中位线：

连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.

3.三角形的重心概念：

三角形三条边上的中线交于一点，那个点确实是三角形的重心．

重心与一边中点的连线的长是对应中线长的

．

要点四、位似

1.位似图形概念:

若是两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都通过

同一点，那么如此的两个图形叫做位似图形，那个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点五、图形与用坐标

依照已知条件，成立适当的平面直角坐标系，是确信点的位置的必经进程，只有成立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确信，才能使数与形有机地结合在一路．

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地址散布情形的进程：

（1）成立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确信x轴，y轴的正方向；

（2）依照具体问题确信适当的比例尺，在座标轴上标出单位长度；

（3）在座标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地址的名称．

1.点的平移：

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，能够取得对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；

将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，能够取得对应点（x，y＋b）或（x，y－b）．

（1）在座标系内，左右平移的点的坐标规律：

右加左减；

（2）在座标系内，上下平移的点的坐标规律：

上加下减；

（3）在座标系内，平移的点的坐标规律：

沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．

2.图形的平移：

在平面直角坐标系内，若是把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形确实是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；

若是把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形确实是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．

（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的转变，因此图形的平移问题能够转化为点的平移问题来解决．

（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生转变.

要点六、黄金分割

1.概念：

如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，假设小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即

（现在线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），那么P点确实是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

2.黄金三角形：

顶角为36°

的等腰三角形，它的底角为72°

，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：

底角平分线将其腰黄金分割．

二、典型例题+拓展训练：

【典型例题】

类型一、相似三角形

1.已知：

如图，∠ABC=∠CDB=90°

，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间知足如何的关系时，这两个三角形相似？

【思路点拨】能够假设△ABC∽△CDB，那么依照相似三角形对应边比值相等的性质能够求得a、b、BD的关系，即可解题．

【答案与解析】

∵AC=a，BC=b，

∴AB=

，

①当△ABC∽△BDC时，

即

②当△ABC∽△CDB时，

【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.

触类旁通

【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对

折，使A、C重合，直线MN交AC于O.

（1）求证：

△COM∽△CBA；

（2）求线段OM的长度.

【答案】

（1）证明：

A与C关于直线MN对称，

∴AC

MN，∴∠COM=90°

在矩形ABCD中，∠B=90°

∴∠COM=∠B，

又

∠ACB=∠ACB，

∴△COM∽△CBA，

（2）

在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，

∴AC=10，∴OC=5，

△COM∽△CBA，

∴

∴OM=

.

2.如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP

BE（点P、E在直线AB的同侧），若是

，求△PBC的面积与△ABC面积之比.

连接FP,延长AP交BC的延长线于H,过点A、P别离作

垂足M、N.

∵四边形BDEF是平行四边形，EF∥AD,又

AP

BE，

∴E、F、P共线，即PF∥AB,四边形APEB是平行四边形，∴EP=AB，

又∵

∴EF=DB=

AB=

PF,∴PF=

AB,

∵△ABH∽△PFH,∴

【总结升华】此题应用了平行四边形，相似三角形和三角形面积的相关知识，能够合理作出辅助线是解决此题的关键，

【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°

，将△ABC沿直线MN翻折后，极点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝

，那么四边形MABN的面积是（）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C.

3.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，若是α＝45°

，AB＝

，AF＝3，求FG的长．

【思路点拨】

（1）依照已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；

（2）依照相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．

（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM

以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B

∴△AMF∽△BGM．

（2）当α＝45°

时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝

，

又∵AMF∽△BGM，∴

，

又∵α＝45°

∴AC=BC=4，

.

【总结升华】考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，依照其性质求出BG、AC的长度．

类型二、中位线

4.（2021•常德）已知两个共一个极点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°

，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：

MB∥CF；

（2）如图1，假设CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°

时，求证：

BM=ME．

（1）

如答图1，延长AB交CF于点D，那么易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点，

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM∥CF．

（2）如答图2所示，延长AB交CF于点D，那么易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=

a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，

∴BM=

DF．

别离延长FE与CA交于点G，那么易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=2

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=

AG．

∵CG=CF=2

a，CA=CD=

∴AG=DF=

∴BM=ME=

×

a=

a．

（3）如答图3，延长AB交CE于点D，连接DF，那么易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=

延长FE与CB交于点G，连接AG，那么易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=

在△ACG与△DCF中，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．

【总结升华】考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是此题的难点．

【变式】

（2021•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F别离是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°

，那么∠PFE的度数是（　）.

°

°

°

【答案】D.

类型三