小学奥数面积计算(综合题型)Word文档格式.doc
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3=15(格);
右图是一个梯形,上底是4,下底是7,高是4,它的面积是
(4+7)×
2=22(格).
上面面积计算的单位用“格”,一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米,1格就是1平方厘米;
如果小正方形边长是1米,1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位,1格就是一个面积单位.在这一讲中,我们直接用数表示长度或面积,省略了相应的长度单位和面积单位.
一、三角形的面积
用直线组成的图形,都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是:
三角形面积=底×
高÷
2.
这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式,而且要会灵活运用.
例1右图中BD长是4,DC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?
解:
三角形ABD与三角形ADC的高相同.
三角形ABD面积=4×
三角形ADC面积=2×
因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意:
三角形的任意一边都可以看作是底,这条边上的高就是三角形的高,所以每个三角形都可看成有三个底,和相应的三条高.
例2右图中,BD,DE,EC的长分别是2,4,2.F是线段AE的中点,三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.
BC=2+4+2=8.
三角形ABC面积=8×
4÷
2=16.
我们把A和D连成线段,组成三角形ADE,它与三角形ABC的高相同,而DE长是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AE的一半,三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.
三角形DFE面积=16÷
4=4.
例3右图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影部分面积.
ABEF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
FE×
BE÷
2,
它恰好是长方形ABEF面积的一半.
同样道理,FECD也是长方形,它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.
因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半,也就是
20×
12÷
2=120.
通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
例4右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?
把A和C连成线段,四边形ABCD就分成了两个,三角形ABC和三角形ADC.
对三角形ABC来说,AB是底边,高是10,因此
面积=4×
10÷
2=20.
对三角形ADC来说,DC是底边,高是8,因此
面积=7×
8÷
2=28.
四边形ABCD面积=20+28=48.
这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面积.
要直接求出三角形BEF的面积是困难的,但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
三角形ABE面积=3×
6×
2=9.
三角形BCF面积=6×
(6-2)÷
2=12.
三角形DEF面积=2×
(6-3)÷
2=3.
我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出:
三角形BEF面积=6×
6-9-12-3=12.
例6在右图中,ABCD是长方形,三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ABMD(阴影部分)的面积.
四边形ABMD中,已知的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积,然后用长方形ABCD的面积减去它们,由此就可以求得四边形ABMD的面积.
把M与C用线段连起来,将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7×
2÷
2=7.
因为M是线段DE的中点,三角形DMC与三角形MCE面积相等,所以三角形MCE面积是7÷
2=3.5.
因为BE=8是CE=2的4倍,三角形MBE与三角形MCE高一样,因此三角形MBE面积是
3.5×
4=14.
长方形ABCD面积=7×
(8+2)=70.
四边形ABMD面积=70-7-14=49.
二、有关正方形的问题
先从等腰直角三角形讲起.
一个直角三角形,它的两条直角边一样长,这样的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度),还有两个角都是45度,通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.
两个一样的等腰直角三角形,可以拼成一个正方形,如图(a).四个一样的等腰直角三角形,也可以拼成一个正方形,如图(b).
一个等腰直角三角形,当知道它的直角边长,从图(a)知,它的面积是
直角边长的平方÷
当知道它的斜边长,从图(b)知,它的面积是
斜边的平方÷
4
例7右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长,恰好是前一个斜边长的一半,求这个图形的面积.
从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半,第一个等腰直角三角形的面积是8×
2=32.
这一个图形的面积是
32+16+8+4+2+1=63.
例8如右图,两个长方形叠放在一起,小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点,并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么图中阴影部分的总面积是多少?
为了说明的方便,在图上标上英文字母D,E,F,G.
三角形ABC的面积=2×
2=2.
三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.
三角形ABC的斜边,与三角形ADE的直角边一样长,因此三角形ADE面积=ABC面积×
2=4.
三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷
2=1.
阴影部分的总面积是4+1=5.
例9如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7,BC=3,三个角的度数:
角B和D是直角,角A是45°
.求这个四边形的面积.
这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE,切掉一个等腰直角三角形BCE.
因为
A是45°
,角D是90°
,角E是
180°
-45°
-90°
=45°
,
所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.
四边形ABCD的面积,是这两个等腰直角三角形面积之差,即
7×
7÷
2-3×
3÷
2=20.
这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的,这就大错特错了.这样做,角A是45°
,这一条件还用得上吗?
图形上线段相等,两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据,小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°
和直角,你应首先考虑等腰直角三角形.
现在我们转向正方形的问题.
例10在右图11×
15的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?
长方形的宽,是“一”与“二”两个正方形的边长之和,长方形的长,是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.
长-宽=15-11=4
是“三”正方形的边长.
宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和,因此
中间小正方形边长=11-4×
2=3.
中间小正方形面积=3×
3=9.
如果把这一图形,画在方格纸上,就一目了然了.
例11从一块正方形土地中,划出一块宽为1米的长方形土地(见图),剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.
剩下的长方形土地,我们已知道
长-宽=1(米).
还知道它的面积是15.75平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?
如果能求出,那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
我们把长和宽拼在一起,如右图.
从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形,如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与宽之和.
可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形,仔细观察一下,就会发现,它的边长,恰好是长方形的长与宽之差,等于1米.
现在,我们就可以算出大正方形面积:
15.75×
4+1×
1=64(平方米).
64是8×
8,大正方形边长是8米,也就是说长方形的
长+宽=8(米).
因此
长=(8+1)÷
2=4.5(米).
宽=8-4.5=3.5(米).
那么划出的长方形面积是
4.5×
1=4.5(平方米).
例12如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6,求三角形AEG(阴影部分)的面积.
四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此
四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)×
大正方形边长÷
2
三角形ADG是直角三角形,它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长),因此
三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)×
四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有,因此,三角形AEH与三角形HCG面积相等,都加上三角形EHG面积后,就有
阴影部分面积=三角形ECG面积
=小正方形面积的一半
=6×
6÷
2=18.
十分有趣的