2017年四川省中考突破复习题型专项(五)反比例函数的综合题Word文档格式.doc
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3×
1＝.
2．（2015·
南充）反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝mx＋b（m≠0）交于点A（1，2k－1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
（1）把点A（1，2k－1）代入y＝，得2k－1＝k.
∴k＝1.
∴反比例函数的解析式为y＝.
（2）由
（1）得k＝1，
∴A（1，1）．
设B（a，0），
∴S△AOB＝·
|a|×
1＝3.
∴a＝±
6.
∴B（－6，0）或（6，0）．
把A（1，1），B（－6，0）代入y＝mx＋b，得解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋.
把A（1，1），B（6，0）代入y＝mx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－x＋.
∴符合条件的一次函数解析式为y＝－x＋或y＝x＋.
3．（2016·
南充模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F.设直线EF的解析式为y＝k2x＋b.
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x＋b－＞0的解集．
（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4）．
∵点A为线段OC的中点，∴A点坐标为（3，2）．
∴k1＝3×
2＝6.
∴反比例函数解析式为y＝.
把x＝6代入y＝，得x＝1，∴F（6，1）．
把y＝4代入y＝，得x＝，∴E（，4）．
把F（6，1），E（，4）代入y＝k2x＋b，得解得
∴直线EF的解析式为y＝－x＋5.
（2）S△OEF＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF＝4×
6－－×
6×
4×
－×
（6－）×
（4－1）＝.
（3）不等式k2x＋b－＞0的解集为＜x＜6.
4．（2016·
成都新都区一诊）如图，直线OA：
y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1.
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA＋PB最小．
（1）设A点的坐标为（a，b），则b＝，∴ab＝k.
∵ab＝1，∴k＝1，∴k＝2.
（2）联立解得
∴A（2，1）．
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，－1），由对称知识可得BC与x轴的交点P即为所求．
设直线BC的解析式为y＝mx＋n.
由题意可得：
B点的坐标为（1，2）．
∴解得
∴BC的解析式为y＝－3x＋5.
当y＝0时，x＝，
∴P点坐标为（，0）．
5．（2015·
泸州）如图，一次函数y＝kx＋b（k<
0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y＝的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A，B两点，且AC＝2BC，求m的值．
（1）∵一次函数y＝kx＋b（k＜0）的图象经过点C（3，0），
∴3k＋b＝0①，点C到y轴的距离是3.
∵一次函数y＝kx＋b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴×
b＝3.解得b＝2.
将b＝2代入①，解得k＝－.
则函数的解析式是y＝－x＋2.
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则AD∥BE.
∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE.
∴＝＝2.∴AD＝2BE.
设B点纵坐标为－n，则A点纵坐标为2n.
∵直线AB的解析式为y＝－x＋2，
∴A（3－3n，2n），B（3＋n，－n）．
∵反比例函数y＝的图象经过A，B两点，
∴（3－3n）·
2n＝（3＋n）·
（－n）．
解得n1＝2，n2＝0（不合题意，舍去）．
∴m＝（3－3n）·
2n＝－3×
4＝－12.
6．（2016·
绵阳）如图，直线y＝k1x＋7（k1＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝（k2＞0）的图象在第一象限交于C，D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为，点C横坐标为1.
（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”．请求出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．
（1）由题意得A（－，0），B（0，7），
∴S△AOB＝|OA|·
|OB|＝×
（－）×
7＝.
解得k1＝－1.
故直线方程为y＝－x＋7.
当x＝1时，y＝6，故点C坐标为（1，6），
将点C（1，6）代入y＝，解得k2＝6.
（2）由直线y＝－x＋7和反比例函数y＝在第一象限图象的对称性可知点D与点C关于直线y＝x对称，故点D坐标为（6，1）．
当x＝2时，反比例函数图象上的点为（2，3），直线上的点为（2，5），此时可得整点（2，4）；
当x＝3时，反比例函数图象上的点为（3，2），直线上的点为（3，4），此时可得整点（3，3）；
当x＝4时，反比例函数图象上的点为（4，），直线上的点为（4，3），此时可得整点（4，2）；
当x＝5时，反比例函数图象上的点为（5，），直线上的点为（5，2），此时无整点可取．
综上可知，阴影部分（不含边界）所包含的整点有（2，4），（3，3），（4，2）．
（方法二：
联立直线和反比例函数解析式，求点D坐标，请酌情评分．）
类型2 反比例函数与几何图形综合
7．（2016·
绵阳涪城区模拟）如图，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，∠AOC＝45°
，OA＝2，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点D.
（2）若点D的纵坐标为，求直线AD的解析式．
（1）过点A作AH⊥x轴于点H.
∵OA＝2，∠AOH＝45°
，
∴OH＝AH＝OA·
sin45°
＝2×
＝.
∴A（，）．
又点A在y＝图象上，
∴k＝×
＝2.
（2）∵点D纵坐标是，∴点D横坐标是2.
∴D（2，），A（，）．
设直线AD的解析式为y＝ax＋b，则
∴直线AD的解析式为y＝－x＋.
8．（2016·
成都高新区一诊）如图1，在△OAB中，A（0，2），B（4，0），将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′.
（1）当m＝4时，如图2，若反比例函数y＝的图象经过点A′，一次函数y＝ax＋b的图象经过A′，B′两点．求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．
（1）∵A′（4，2），B′（8，0），
∴k＝4×
2＝8.
∴y＝.
把（4，2），（8，0）代入y＝ax＋b，得
∴经过A′，B′两点的一次函数解析式为y＝－x＋4.
（2）当△AOB向右平移m个单位时，A′点的坐标为（m，2），B′点的坐标为（m＋4，0），
则A′B′的中点M的坐标为（，1）．
∵反比例函数y＝的图象经过点A′及M，
∴2m＝×
1，解得m＝2.
∴当m＝2时，反比例函数y＝的图象经过点A′及A′B′的中点M.
9．（2014·
内江）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？
如果存在，求出点D的坐标；
如果不存在，说明理由．
（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（－4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4.
∴P（4，2），B（4，0）．
将A（－4，0），P（4，2）代入y＝kx＋b，得
∴一次函数解析式为y＝x＋1.
将P（4，2）代入反比例函数解析式得m＝8.
（2）存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，
对于一次函数y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，
∴C（0，1）．
∴直线BC的斜率为＝－.
设过点P，且与BC平行的直线解析式为
y－2＝－（x－4），即y＝，
联立解得
∴D（8，1）．
此时PD＝＝，
BC＝＝，即PD＝BC.
∵PD∥BC，
∴四边形BCPD为平行四边形．
∵PC＝＝，即PC＝BC，
∴四边形BCPD为菱形，满足题意，
∴反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为（8，1）．
10．（2016·
德阳中江模拟）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第二象限，顶点A，B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥y轴于点C，PA⊥x轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E，F.已知B（1，3）．
（1）k＝3；
（2）试说明AE＝BF；
（3）当四边形ABCD的面积为4时，直接写出点P的坐标．
（2）设点P坐标为P（m，3），则D（m，0），C（0，3），A（m，），
∵＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠P＝∠P，
∴△PDC∽△PAB.
∴∠PDC＝∠PAB.
∴DC∥AB.
又∵AD∥CF，DE∥CB，
∴四边形ADCF和四边形DEBC都是平行四边形．
∴AF＝DC，DC＝BE.
∴AF＝BE.
∴AE＝BF.
（3）S四边形ABCD＝S△APB－S△PCD
＝PA·
PB－PC·
PD
＝（3－）（1－m）－×
3（－m）
＝4.
解得m＝－.
则P（－，3）．
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