一元二次方程全章讲义文档格式.doc

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⑥（2x－1）2=（x－1）（4x+3）。

例2、若关于的方程是一元二次方程，求m的值。

例3、关于x的方程x（3x－3）－2x（x－1）－2=0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

例4、关于x的一元二次方程（a－1）x2－x+a2－1=0的一根是0，则a的值为（）

A、1B、－1C、1或－1D、。

【夯实基础练】：

一）、填空题：

1、方程（x－4）2=3x+12的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

2、（11滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为______.

3、已知关于x的方程是一元二次方程，则m2=。

4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=．

5、已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为1和－1，则a+b+c=，a－b+c=。

6、关于x的方程（k2－1）x2+2（k－1）x+2k+2=0，当k≠时，为一元二次方程；

当k=时，为一元一次方程。

二）、选择题：

1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A、B、C、D、

2、方程化为一般形式后，a、b、c的值分别为（）

A、a=5，b=3，c=5B、a=5，b=－3，c=－5

C、a=7，b=，c=5D、a=8，b=6，c=1

三）、解答题：

1、已知关于x的方程（m2－1）x2+（m+1）x+1=0

（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？

（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？

2、关于x的方程（m+2）2x2+3m2x+m2－4=0有一根为0，求2m2－4m+3的值。

3、已知x=－2是方程x2－mx+2=0的一个根，试化简。

【能力提高练】：

1、试证明关于x的方程（m2－8m+17）x2+2m+1=0，不论m为何值，该方程都是一元二次方程。

2、已知x2+3x+1的值为5，则代数式2x2+6x－2的值为多少？

3、设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求这个直角三角形的斜边长。

4、若的值是多少？

一元二次方程的解法

1、理解解一元二次方程的“降次”思想，将一元二次方程“化成”两个一元一次方程．

2、直接开平方法：

如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或．

3、配方法：

通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；

配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。

4、公式法：

公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；

5、利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

6、一元二次方程根的判别式：

b2-4ac叫根的判别式；

（1）当b2-4ac>

0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．

（3）当b2-4ac<

0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）；

（2）

2、用配方法解下列方程：

（1）；

（2）．

3、用公式法解下列方程：

（1）5x2+2x-6=0

（2）4x2-7x+2=0（3）2x2-x-=0

4、用因式分解法解下列方程：

（2）；

（3）；

（4）．

5、已知y=2x2+7x－1，当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？

x为何值时，y的值与x2－19的值互为相反数？

6、解方程。

7、若，，则x+y的值是多少？

一）、填空题

1、（2011镇江）已知关于x的方程的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.

2、如果x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为。

3、当x=时，代数式x2+4x+6有最值是；

【提示：

配方法】

4、方程3x2+2=x中，a=，b=，c=，b2－4ac=；

5、已知一元二次方程ax2+4x+2=0且b2－4ac=0，则a=，x=。

6、（2011上海）如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．

8、已知a≠0，a≠b，x=1是方程ax2+bx－10=0的一个解，则的值是。

1、解方程（x+5）2－3（x+5）=0，较简便的解法是（）

A、直接开平方法B、因式分解法C、配方法D、公式法

2、方程x2+2x－3=0的解是（）

A、x1=1，x2=3；

B、x1=1，x2=－3；

C、x1=－1，x2=3；

D、x1=－1，x2=－3。

3、（2011兰州）用配方法解方程时，原方程应变形为（）

A． B． C． D．

4、，则的值是（）

A、－6B、－2C、2D、6

5、（2011安徽）一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）

A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2

6、下列是某同学在一次数学测验中解答的题目，其中答对的是（）

A、若x2=4，则x=2；

B、若3x2=6x，则x=2；

C、若x2+x－k=0的一个根是1，则k=2；

D、若分式的值为零，则x=2。

7、已知方程x2－6x+q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x+q=2可以配方成下列的（）

A、（x－p）2=5；

B、（x－p）2=9；

C、（x－p+2）2=9；

D、（x－p+2）2=5。

8、关于x的方程k2x2+2（k－1）x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、k＜B、k≤C、k＜且k≠0D、k≤且k≠0

三、解答题：

（2）；

（3）；

2、用配方法解下列方程：

（2）．（3）．

3、用公式法解方程

（1）x2+4x+2=0;

（2）3x2-6x+1=0;

（3）4x2-16x+17=0;

（1）y2＋7y＋6＝0；

（2）t（2t－1）＝3（2t－1）；

（3）（2x－1）（x－1）＝1．

【能力提高】

1、已知一元二次方程x2－4x+k=O有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x+k=0与x2+mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值。

2、已知、、为三角形的三边,求证∶方程没有实数根。

3、已知9a2-4b2=0，求代数式的值．

一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系

【知识点】

1、一元二次方程的根的情况可由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示。

当△>

0时，有两个不相等实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根，当△<

0时，没有实数根，反过来也成立。

2、如果的两个根是，那么

3、如果方程的两个根是，那么

4、以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

【例题选讲】

例1：

不解方程，判别下列方程的根的情况；

（2）；

（3）

例2：

已知关于x的方程，当k取什么值时，

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根。

例3：

求证：

不论a为任何实数，方程总有实数根。

例4：

利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的

（1）平方和；

（2）倒数和。

例5：

（2010孝感）关于x的一元二次方程、

（1）求p的取值范围；

（2）若的值.

例6：

求一个一元二次方程，使它的两个根是4和5。

【拓展延伸】例7、设方程的大根为，方程的小根为，则_____________．

例8、若，且有及，则，．

【能力训练】：

1．（2011德州）若，是方程的两个根，则=__________．

2．（2011宜宾）已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是____________．

3、设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝．

4、（2013眉山）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=______

5、已知方程两根分别是0和－3，那么p+q＝。

6、（2013绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是。

7、（2013泸州）设是方程的两个实数根，则的值为（）

A.5B.-5C.1D.-1

8、（20